【最新资料】天津市高考数学(文)二轮复习检测：专题能力训练6专

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专题能力训练6函数与方程及函数的应用

一、能力突破训练

1.函数f(x)=的零点个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.所以已知函数有2个零点.故选C.

2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>,则f(x)可以是()

A.f(x)=2x-

B.f(x)=-x2+x-

C.f(x)=1-10x

D.f(x)=ln(8x-2)

g=+-2<0,g=1>0,则x2∈.若f(x)=1-10x,

则有x1=0,此时|x1-x2|>,因此选C.

3.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.

在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()

A.6升

B.8升

C.10升

D.12升

,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.

而这段时间内行驶的里程数s=35 600-35 000=600(千米).

所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为×100=8(升).故选B.

4.已知函数f(x)=(k∈R).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()

A.[2,+∞)

B.(-1,0)

C.[-2,1)

D.(-∞,-2]

y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,

要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2.故选D.

5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.

(a)<f(1)<f(b)

,知f'(x)=e x+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数.

因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).

由题意,知g'(x)=+1>0,

则函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.

又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).

综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是增函数,所以f(a)<f(1)<f(b).

6.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.

-∞,0)∪(1,+∞)

g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.

当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.

当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,0)内单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y=b有两个不同交点.

图①

图②

当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,+∞)内单调递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.

综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.

7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:

①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;

②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;

③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.

甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款元.

x元,实际付款为y元,

则y=

整理,得y=

∵0.9×200=180>100,

∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,

∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.

8.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是.(写出所有正确条件的编号)

①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.

,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3

时,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,满足题意,故①正确;当b=2时,f(-1)=4>0,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故②不正确;当b>2时,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x2+a≥0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故④⑤也满足题意.

9.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.

(1)求函数g(x)的值域;

(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

1)g(x)=+2=+2,

因为|x|≥0,所以0<≤1,

即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].

(2)由f(x)-g(x)=0,得2x--2=0.

当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x--2=0整理,得(2x)2-2×2x-1=0,(2x-1)2=2,

解得2x=1±.因为2x>0,所以2x=1+,

即x=log2(1+).

10.

如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的

平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,

(1)写出y的表达式;

(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.

1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y==(3|v-c|+10)(v>0).

(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;

当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.

故y=

①当0<c≤时,y是关于v的减函数.故当v=10时,y min=20-.

②当<c≤5时,在区间(0,c]内,y是关于v的减函数;在区间(c,5]内,y是关于v的增函数.

故当v=c时,y min=.

二、思维提升训练

11.已知函数f(x)=a-2ln x(a∈R),g(x)=-.若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的范围为()

A.[1,+∞)

B.(1,+∞)

C.[0,+∞)

D.(0,+∞)

x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则f(x)-g(x)>0在x∈[1,e]时有解,由f(x)-g(x)>0?a-2ln x+=ax-2ln x>0有解,x∈[1,e],则a>.

设F(x)=,

则F'(x)=,当x∈[1,e]时,F'(x)=≥0,

所以F(x)在区间[1,e]上单调递增,即F(x)min=F(1)=0,因此a>0即可,故选D.

12.设函数f(x)=

(1)若a=1,则f(x)的最小值为;

(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.

1)-1(2)∪[2,+∞)

1)当a=1时,f(x)=

当x<1时,2x-1∈(-1,1);

当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).

故f(x)的最小值为-1.

(2)若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.

同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以故

≤a<1.

若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.

当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.

综上,a的取值范围为∪[2,+∞).

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