假期作业 每天一道带答案摘自北京文科立体几何

1.（本小题满分13分）

如图，四棱锥E ABCD中，EA EB，AB∥CD，AB BC，AB 2CD． （Ⅰ）求证：AB ED；

（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF// 平面BCE？若存在，求出EF

；若不存在，说EA

明理由．

1.（本小题共14分）

在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC CC1，AB BC.点M,N分别是CC1，B1C的中点，G是棱AB上的动点.

（Ⅰ）求证：B1C 平面BNG； （Ⅱ）若CG//平面AB1M，试确定G 点的位置，并给出证明.

１１．５

（本小题满分14分）

如图，已知四棱锥P ABCD中，底面ABCD

是直角梯形，AB//DC，AB 2DC 4，PB BC DC，

PB 平面ABCD．

（Ⅰ）求四棱锥P ABCD的体积； （Ⅱ）求证：AD 平面PBD；

（Ⅲ）试在PB上求点M，使得CM//平面PDA；

１１．６

（本小题满分14分）

如图在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，

PA 底面ABCD，垂足为点A，PA AB 2,点M，N分

别是PD，PB的中点． （I）求证:PB//平面ACM ； （II）求证:MN 平面PAC； （III）求四面体A MBC的体积.

１１．７

如图，在长方体ABC DA1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且

CC1 C1E BC

1

AB 1． 2

(Ⅰ) 求证：D1E//平面ACB1 ； (Ⅱ) 求证：平面D1B1E 平面DCB1； （Ⅲ）求四面体D1B1AC的体积．

１１．８

（本小题满分13分）

已知边长为2的正方形ABCD所在平面外有一点P，PA 平面ABCD，且PA 2，E是PC上的一点．

（I）求证：AB//平面PCD；

（II）求证：平面BDE 平面PAC； （III）线段PE为多长时，PC 平面BDE？

D

（本小题满分14分）

如图，矩形ABCD中，AB 3，BC 4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥

AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF 平面ECDF．

（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD； （Ⅱ）若EC 3，求证：ND FC； （Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．

AFD

B

17.（本小题满分13分）

E为AD中点, 在正四棱柱ABCD A1BC11D1中，F为B1C1中点.

（Ⅰ）求证:A1F//平面ECC1；

（Ⅱ）在CD上是否存在一点G,使BG 平面ECC1?若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

D1

A1

B1

C1

D

A

C

17. （本小题共13分）

如图：梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB//DC, AD CD 且O为AB中点.

( I ) 求证：BC//平面POD； ( II ) 求证：AC PD. P

1

AB，2

A

O

B

D

C

16．（本小题共14分）

在三棱锥P ABC中， PAC和

PBC都是边长为AB 2，

O,D分别是

AB,PB的中点．

（Ⅰ）求证：OD∥平面PAC； （Ⅱ）求证：PO⊥平面ABC； （Ⅲ）求三棱锥P ABC的体积．

答案：

１０．３１．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．

因为 EA EB，所以 EO AB． ……………2分 因为 AB∥CD，AB 2CD， 所以 BO∥CD，BO CD．

又因为 AB BC，所以四边形OBCD为矩形，

所以 AB DO． ………………4分 因为 EO DO O，所以 AB 平面EOD． ………………5分

所以 AB ED． ………………6分 （Ⅱ）解：点F满足

EF1

，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE．……………7分 EA2

证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． ………………8分 因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG 因为AB∥CD，CD

1

AB． 2

1

AB，所以FG∥CD，FG CD． 2

所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． ………………11分 因为 DF 平面BCE，CG 平面BCE， ………………12分 所以 DF// 平面BCE． ………………13分

１１．１ 17．（本小题共14分） (I) 证明：∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC CC1，点N是B1C的中点，

∴BN B1C …………………………1分

AB BC,AB BB1,BB1 BC B

∴AB⊥平面B1BCC1 ………………………3分

B1C 平面B1BCC1

∴B1C AB，即B1C GB …………………5分 又BN BG B

∴B1C 平面BNG …………………………………6分

（II）当G是棱AB的中点时，CG//平面AB1M.……………………………7分 证明如下:

连结AB1,取AB1的中点H，连接HG,HM,GC, 则HG为 AB1B的中位线 ∴GH∥BB1，GH

1

BB1…………………8分 2

∵由已知条件，B1BCC1为正方形 ∴CC1∥BB1，CC1 BB1 ∵M为CC1的中点，

1

CC1…………………………………11分 2

∴MC∥GH，且MC GH ∴四边形HGCM为平行四边形

∴GC∥HM …………………………………12分

∴CM

又∵GC 平面AB1M，，H 平面AB1M

∴CG//平面AB

1M ………………………………………14分 １１．５解：（Ⅰ）VP ABCD

11

(AB DC) BC PB 32

11

(4 2) 2 2 4． …………………………………… 3分 32

（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，过D作DE AB于点E，则四边形BCDE为正方形．

∴DE BE CD 2． ……………………………………………… 4分

又∵AB 4，∴AE 2．∴AE DE BE．

∴ EAD EDA EBD EDB 45． ……………………… 5分

∴ ADB 90 即AD BD． ……………………… 6分

又∵PB 平面ABCD，∴PB AD． ……………………… 7分 ∵PB DB B， ∴AD 平面PBD． ……………………… 8分 （Ⅲ）取PB中点M，PA中点N，连接CM,DN，

则MN//AB，且MN

1

AB 2.……… 10分 2

又∵AB//DC，且DC 2，

∴MN//CD,MN CD. ………… 11分 ∴四边形MNDC是平行四边形.

∴CM//DN. …………………………………………… 12分 又∵DN 平面PDA，CM 平面PDA，

∴CM//平面PDA ……………………………………………… 14分

１１．６17.（本小题满分14分）

证明：（I）连接AC,BD,AM,MC,MO,MN,且AC BD O

点O,M分别是PD,BD的中点 MO//PB,PB 平面ACM

PB//平面ACM. …… 4分

(II) PA 平面ABCD，BD 平面ABCD

PA BD 底面ABCD是正方形

AC BD

又

PA AC A

BD 平面PAC ……7分

在 PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点．

MN//BD

MN 平面PAC. …… 9分

（III）由VA MBC VM ABC 分h

1

S ABC h ……113

1

PA ……12分 2

1112

VA MBC AB AD PA . ……14分

3223

１１．７

17．解：（Ⅰ）证明：连AD1

AD1//BC1//B1E

四边形AB1ED1是平行四边形 ………2分

则D1E//AB1

又AB1 平面AB1C，D1E 平面AB1C

由长方体的特征可知：CD 平面B1BCE

而B1E 平面B1BCE， 则CD B1E …… 此处隐藏：2734字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……