复变函数与积分变换经典PPT—复变函数3.4

复变函数与积分变换N

P

y S x z

第三章1. 2. 3.

复变函数的积分

复变函数积分的概念 柯西—古萨基本定理 基本定理的推广——复合闭路定理

4. 原函数与不定积分 5. 柯西积分公式 6. 解析函数的高阶导数 7. 解析函数与调和函数的关系 8. 第三章小结与习题

第四节 原函数与不定积分BC1

z0 C2

1

z1

主要定理和定义BC1

2 3

z0

典型例题C2

z1

z z z K

B

3

小结与思考

z0

一、主要定理和定义1. 两个主要定理:定理一如 果 函 数 f (z) 在 单 连 通 域 B 内 处 处 解 析 , 那末积分 C 无关.

f ( z )d z 与 连 结 起 点 及 终 点 的 路 线C

由定理一可知:

解析函数在单连通域内的积分只与起点和 终点有关, (如下页图)

如 果 起 点 为 z 0 , 终 点 为 z1 ,BC1

B

z0

z1

C1

C2

z0 C2

z1

C1

f ( z )dz

C2

f ( z )dz

z

z10

f ( z )dz

如 果 固 定 z 0 , 让 z1 在 B 内 变 动 , 并 令 z1 z ,

便可确定 B 内的一个单值函数 F ( z )

z z0

f ( )d .

定理二如 果 函 数 f (z) 在 单 连 通 域 B 内 处 处 解 析 , 那 末 函 数 F (z)

z z0

f ( )d 必 为 B 内 的 一 个 解

析 函 数 , 并 且 F ( z ) f ( z ).

证

利用导数的定义来证.z K

设 z 为 B 内任一点,B

以 z 为中心作一含于 B 内的 小圆 K,

取

z 充 分 小 使 z z 在 K 内, 由 F (z) 的 定 义 ,z z z0

F ( z z ) F ( z )

f ( ) d

z

z0

f ( ) d

由于积分与路线无关,

z z z0

f ( )d 的 积 分 路 线 可 先 取 z 0 到 z ,

( 注意:这一段与 路线相同)然后从

z z0

f ( )d 的B

z z z K

z 沿直线到

z z,

z0

于 是 F (z z) F (z)

zz

z z

f ( ) d ,

因为

z z z

f ( z )d f ( z )

z z

d f ( z ) z ,

所以

F (z z) F (z) z

f (z) z z z K

z z1

1

z z

f ( ) d f ( z )B

z z

z z

[ f ( ) f ( z )] d

z0

因 为 f (z) 在 B 内 解 析 , 所 以 f (z) 在 B 内 连 续 , 故 0, 0,

使 得 满 足 z 的 一 切 都 在 K 内, 即 z 时 , 总有 f ( ) f ( z ) , z z z K

由积分的估值性质,F (z z) F (z) z f (z)B

z0

F (z z) F (z) z

f (z)

1 z

z

z z

[ f ( ) f ( z )] d

1 z

z

z z

| f ( ) f ( z ) | d F (z z) F (z) z

1 z

z .

于是即

z 0

lim

f ( z ) 0,

F ( z ) f ( z ).

[证毕]

此定理与微积分学中的对变

上限积分的求导 定理完全类似.

2. 原函数的定义:如 果 函 数 ( z ) 在 区 域 B 内 的 导 数 为 f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那 末 称 ( z ) 为 f ( z ) 在 区 域 B 内 的原函数.

显然 F ( z )

z z0

f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.

原函数之间的关系:f (z) 的 任 何 两 个 原 函 数 相 差 一 个 常 数 .

证

设 G (z) 和 H (z) 是 f (z) 的 任 何 两 个 原 函 数 ,

那末

G ( z )

H ( z ) G ( z ) H ( z )

f (z) f (z) 0

于 是 G ( z ) H ( z ) c . (c 为 任 意 常 数 )

[证毕]

根据以上讨论可知:如 果 f ( z ) 在 区 域 B 内 有 一 个 原 函 数 F ( z ),

那末它就有无穷多个原函数,一 般 表 达 式 为 F ( z ) c ( c 为 任 意 常 数 ).

3. 不定积分的定义:称 f (z) 的 原 函 数 的 一 般 表 达 式 F (z) c ( c 为 任 意 常 数 )为 f ( z ) 的 不 定 积 分 , 记 作

定理三

f ( z )d z F ( z ) c .

(类似于牛顿-莱布尼兹公式)

如 果 函 数 f (z) 在 单 连 通 域 B 内 处 处 解 析 , G (z) 为 f (z) 的 一 个 原 函 数 , 那 末

z1 z0

f ( z )d z G ( z 1 ) G ( z 0 )

这 里 z 0 , z1 为 域 B 内 的 两 点 .

证

因为 所以

z z0 z z0

f ( z )dz 也是 f ( z ) 的原函数, f ( z )dz G ( z ) c ,

当 z z0 时 , 得 c G ( z 0 ),

根据柯西-古萨基本定理,

所以 或

z z0

f ( z )dz G ( z ) G ( z0 ),

z1 z0

f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 ).

[证毕]

说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用 跟微积分学中类似的方法去计算.

二、典型例题例1 解求

z

z10

z d z 的值 .

因为 z 是解析函数,

它的原函数是

1 2

z ,

2

由牛顿-莱布尼兹公式知,

z

z10

zd z

1 2

z1

z

2 z0

1 2

( z 1 z 0 ).2 2

例2 解

求

i

i0

z cos z d z 的 值 .

2

0 1 2

z cos z d z i

2

1 2

0

i

cos z d z

2

2

sin z

2 0

1 2

sin( ) 2

1 2

sin .2

(使用了微积分学中的“凑微分”法)