8.2平面的性质及空间两直线的位置关系

一轮复习用

数学

苏(文)

§8.2 平面的性质及空间两直线 的位置关系第八章 立体几何

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基础知识·自主学习要点梳理1.平面的基本性质 公理 1: 如果一条直线上的 两点 在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都在 这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是经过这个公共点的 一条直线 . 公理 3: 经过不在同一条直线上 的三点， 有且只有一个平面.基础知识 题型分类思想方法 练出高分

难点正本 疑点清源

1.公理的作用公理1:①证明点在平 面内；②证明直线在平 面内. 公理2:①确定两个平 面的交线；②证明三点 共线或三线共点. 公理3:①确定一个平 面的条件；②证明有关 的点线共面问题.

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基础知识·自主学习要点梳理难点正本 疑点清源

推论 1 经过一条直线和 这条直线外的

2.正确理解异面直线 的定义：异面直线 不同在任何一个平 面内，没有公共 点.不能错误地理 解为不在某一个平 面内的两条直线就 是异面直线.

一点 有且只有一个平面；推论 2 经过 两条相交直线 ，有且只有一 个平面； 推论 3 经过 两条平行直线 ， 有且只有一 个平面.

基础知识

题型分类

思想方法

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基础知识·自主学习要点梳理2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 平行 共面直线 相交 异面直线：不同在 任何 一个平面内

难点正本 疑点清源

2.正确理解异面直线 的定义：异面直线 不同在任何一个平 面内，没有公共 点.不能错误地理 解为不在某一个平 面内的两条直线就 是异面直线.

(2)异面直线所成的角 ①定义：设a,b是两条异面直线，经过空 间任意一点O,作直线a′∥a,b′∥b,把 a′与b′所成的 锐角或直角 叫做异面直线 a,b所成的角.

基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习要点梳理②范围： π 0, 2

难点正本 疑点清源

.

2.正确理解异面直线 的定义：异面直线 不同在任何一个平 面内，没有公共 点.不能错误地理 解为不在某一个平 面内的两条直线就 是异面直线.

3.直线与平面的位置关系有平行、相交 、

在平面内 三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交 两种情况. 5.平行公理(公理4) 平行于 同一条直线 平行.基础知识 题型分类思想方法

的两条直线互相

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基础知识·自主学习要点梳理6.定理 Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等. Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和 这个平面内不经过该点的直线是异面 直线.难

点正本 疑点清源

2.正确理解异面直线 的定义：异面直线 不同在任何一个平 面内，没有公共 点.不能错误地理 解为不在某一个平 面内的两条直线就 是异面直线.

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基础知识·自主学习基础自测

题号1 2

答案②③④

解析

27(0, 3)③ 5

34 5

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题型分类·深度剖析题型一 平面性质的应用思维启迪 解析 探究提高

【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O,AC,BD交 于点M,求证：点C1,O,M 共线.

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题型分类·深度剖析题型一 平面性质的应用思维启迪 解析 探究提高

【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O,AC,BD交 于点M,求证：点C1,O,M 共线.

证明点共线常用方法是取其中 两点确定一直线，再证明其余 点也在该直线上.

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【例1】在正方体ABCD—

A1B1C1D1中，对角线A1C与平 证明 如图所示，∵A1A∥C1C, 面BDC1交于点O,AC,BD交 ∴A1A,C1C 确定平面 A1C. 于点M,求证：点C1,O,M ∵A1C 平面 A1C,O∈A1C, 共线. ∴O∈平面 A1C,而 O=平面 BDC1∩线 A1C,∴O∈平面 BDC1, ∴O 在平面 BDC1 与平面 A1C 的交线上.∵AC∩BD=M,∴M∈平面 BDC1 且 M∈平面 A1C, ∴平面 BDC1∩平面 A1C=C1M, ∴O∈C1M,即 C1,O,M 三点共线.基础知识 题型分类思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型一 平面性质的应用思维启迪 解析 探究提高

【例1】在正方体ABCD— A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于点O,AC,BD交 于点M,求证：点C1,O,M 共线.

(1)证明若干点共线也可以公理 3为依据，找出两个平面的交 线，然后证明各个点都是这两 平面的公共点. (2)利用类似方法也可证明线共 点问题.

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题型分类·深度剖析变式训练 1 如图所示， 证明 (1)连结 EF,CD1,A1B. 正方体 ABCD— ∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点， A1B1C1D1 中，E、F 分 ∴EF∥BA1. 别是 AB 和 AA1 的中 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, 点.求证：∴E、C、D1、F 四点共面.

(1)E、 D1、 四点共面；(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, C、 F (2)CE、D1F、DA 三线 ∴CE 与 D1F 必相交，设交点为 P, 共点.则由 P∈CE,CE 平面 ABCD, 得 P∈平面 ABCD.

同理 P∈平面 ADD1A1.

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又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点.基础知识 题型分类思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析题型二【例2】

空间两直线的位

置关系如图所示，正方体思维启迪 解析

探究提高

ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点.问： (1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由.

基础知识

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题型分类·深度剖析题型二【例2】

空间两直线的位置关系如图所示，正方体思维启迪 解析

探究提高

ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点.问： (1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由.

第(1)问，连结MN,AC,证 MN∥AC,即AM与CN共面； 第(2)问可采用反证法.

基础知识

题型分类

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题型分类·深度剖析题型二【例2】

空间两直线的位置关系如图所示，正方体思维启迪 解析

探究提高

ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别是A1B1、B1C1的中点.问： (1)AM和CN是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？ 说明理由.

解

(1)不是异面

直线.理由如下： 连接 MN、A1C1、 AC. ∵M、 分别是 A1B1、 1C1 的中点， N B ∴MN∥A1C1.又∵A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形， ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,∴A、M、N、C 在同一平面内， 故 A …… 此处隐藏：2249字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……