高一数学必修5不等式

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版)

编写:邓军民

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2. 一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)与相应的函数y ax2 bx c(a 0)、相应的方程ax2 bx c 0(a 0)之间的关系：

a 02

． ax bx c 0（a 0）恒成立 0 a 0

a 0ax bx c 0（）恒成立 ．

0

4. 一般地，直线y kx b把平面分成两个区域（如图）：

2

y kx b表示直线上方的平面区域；y kx b表示直线下方的平面区域．

说明：（1）y kx b表示直线及直线上方的平面区域；

y kx b表示直线及直线下方的平面区域． （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

5.基本不等式：

(1).如果a,b R，那么a2 b2 2ab．

a b

(2).

2

（当且仅当a b时取“ ”）

(a 0,b 0)．

二.例题与练习

例１． 解下列不等式：

(1) x2 7x 12 0； (2) x2 2x 3 0； (3) x2 2x 1 0； (4) x2 2x 2 0．

解：(1)方程x2 7x 12 0的解为x1 3,x2 4．根据y x2 7x 12的图象，可得原不等式x2 7x 12 0的解集是{x|x 3或x 4}． (2)不等式两边同乘以 1，原不等式可化为x2 2x 3 0． 方程x2 2x 3 0的解为x1 3,x2 1．

根据y x2 2x 3的图象，可得原不等式 x2 2x 3 0的解集是

{x| 3 x

2

．1}

(3)方程x 2x 1 0有两个相同的解x1 x2 1．

根据y x 2x 1的图象，可得原不等式x 2x 1 0的解集为 ．

22

(4)因为 0，所以方程x 2x 2 0无实数解，根据y x 2x 2的图象，可

2

2

得原不等式x 2x 2 0的解集为 ． 练习1. （1）解不等式

（2）解不等式

x 3x 3

0呢？） 0；（若改为

x 7x 7 1；

2

2x 3x 7

解:(1)原不等式

x 7 0, x 3 0 x 7 0,或 {x| 7 x 3}

x 3 0

(该题后的答案:{x| 7 x 3}).

(2)

x 10x 7

0即 {x| 7 x 10}.

例2.已知关于x的不等式x2 mx n 0的解集是{x| 5 x 1}，求实数m,n之值． 解： 不等式x2 mx n 0的解集是{x| 5 x 1}

x1 5,x2 1是x mx n 0的两个实数根， 5 1 m m 4

． 由韦达定理知：

5 1 n n 5

2

练习2．已知不等式ax2 bx c 0的解集为{x|2 x 3}求不等式cx2 bx a 0

的解集．

b

2 3 a

b 5a

c

解：由题意 2 3 ， 即 c 6a．

a a 0

a 0

代入不等式cx2 bx a 0得： 6ax2 5ax a 0(a 0)． 即6x2 5x 1 0， 所求不等式的解集为{x|

13 x

12}．

x 4y 3

例3．设z 2x y，式中变量x,y满足条件 3x 5y 25，求z的最大值和最小值．

x 1

解：由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些

平面区域的公共区域．由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当x 0,y 0时，

y x 1 z 2x y 0，即点(0,0)在直线l0：2x y 0上， 作一组平行于l0的直线l：2x y t，t R， 可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点(x,y) 满足2x y 0，即t 0，

而且，直线l往右平移时，t随之增大．

由图象可知，

当直线l经过点A(5,2)时，对应的t最大， 当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小， 所以，zmax 2 5 2 12，zmin 2 1 1 3．

C

A x 4y 3 0

B

O

3x 5y 25 0

x

x 4y 3

练习3．设z 6x 10y，式中x,y满足条件 3x 5y 25，求z的最大值和最小值．

x 1

解：当l与AC所在直线3x 5y 25 0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数

多个，当l经过点B(1,1)时，对应z最小，

∴zmax 6x 10y 50，zmin 6 1 10 1 16．

例4．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca

证明：∵a,b,c为两两不相等的实数，∴a2 b2 2ab，b2 c2 2bc，

c a

2

2

2ca，以上三式相加：2(a b c) 2ab 2bc 2ca

222

所以，a2 b2 c2 ab bc ca．

11

练习4．若x 2y 1，求 的最小值。

xy解：∵x 2y 1，∴ 1

2yx 2

xy

1x 2yx1y xyx 2yx

x 2yy

3 () 3 x 1x 2y

y，即 当且仅当 x2 时取等号，

y x 2y 1

2

∴当x

1,y

2 2

时，

1x

1y

取最小值3 .

三.课堂小结

1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等

式的解法；

2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;

3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;

4.掌握好基本不等式及其应用条件；

四.课后作业

1.如果a 0,b 0，那么，下列不等式中正确的是（ A ） （A）

1a 11b

（B

1

（C）a2 b2 （D）|a| |b|

2.不等式

x2

A．( ,2) B．(2, ) C．(0,2) D．( ,0) (2, )

a b，则下列不等式成立的是( C )

ac

2

的解集是（ D ）

3. 若a、b、c R, （A）

1a 1b

. （B）a2 b2. （C）

1

bc

2

1

.（D）a|c| b|c|.

4. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为( D )

（A）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 5. 不等式

1 2xx 1

0的解集是_________ .(KEY:{x| 1 x

12})

x y 3 0

x 2y 5 0

6.已知实数x,y满足 ，则y 2x的最大值是_________.(KEY:0)

x 0 y 0

7.设函数f(x) lg(2x 3)的定义域为集合M，函数g(x)

1

2x 1

的定义域为集

合N．求：（1）集合M，N；（2）集合M N，M N． 解：（Ⅰ）M {x|2x 3 0} {x|x N {x|1

2x 1

0} {x|

32

0|} {x|x 3或x 1}

32.

x 3x 1

（Ⅱ）M N {x|x 3}; M N {x|x 1或x

8. 若x 1，则x为何值时x

1x 1

有最小值，最小值为多少？

1

0，∴x

1x 1

1x 1

解：∵x 1， ∴x 1 0， ∴ x 1

=x 1

1x

1

1 1

)min 1.

1 2 1 1，当且仅当x 1 即x 0时(x

x 1

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(学生版)

编写:邓军民

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2. 一元二次不等式ax2 bx c 0(a 0)与相应的函数y ax2 bx c(a 0)、相应的方程ax2 bx c 0(a 0)之间的关系：

a 02

． ax bx c 0（a 0）恒成立 0 a 0

a 0ax bx c 0（）恒成立 ．

0

4. 一般地，直线y kx b把平面分成两个区域（如图）：

2

y kx b表示直线上方的平面区域；y kx b表示直线下方的平面区域．

说明：（1）y kx b表示直线及直线上方的平面区域；

y kx b表示直线及直线 …… 此处隐藏：4443字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……