2.5 等比数列的前n项和(一)

2.5

等比数列的前n项和( 等比数列的前n项和(一)

(二)问题探究问题1:这个故事中，地主中计了吗？ 问题 ：这个故事中，地主中计了吗？ 现在我们一起 到底谁吃亏了？ 到底谁吃亏了？ 来寻找答案。 来寻找答案。 问题2:这个月，农夫一共要给地主多少斤米？ 问题 ：这个月，农夫一共要给地主多少斤米？ 40×30=1200(斤) ×30=1200( 问题3:这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ 问题 ：这个月，地主一共要给农夫多少斤米？ 粒米约40克 (1000粒米约 克) 粒米约

共1, 2,+2 , + 2, +L+ 2. 粒 1+ 2 2 L, 222 33 29 29

问题4:这是什么数列求和？求前多少项的和？ 问题 ：这是什么数列求和？求前多少项的和？ 求等比数列的前30项的和。 等比数列的前30项的和。 数列的

(二)问题探究米粒的总数为: 米粒的总数为: S30

= 1+ 2 + 2 + 2 +L+ 22 3

29

问题5 如何求出这个和？用计算器怎么样？ 问题5:如何求出这个和？用计算器怎么样？ 时间很长，太麻烦了。 时间很长，太麻烦了。 问题6:等差数列有求和的公式， 问题 ：等差数列有求和的公式，那么等比数列 是否也有求和的公式 求和的公式呢 是否也有求和的公式呢？若有就直接用公式 问题7 怎样求等比数列的前n项和公式？ 问题7:怎样求等比数列的前n项和公式？ 问题8 能否类比等差数列前n项和公式的求法？ 问题8:能否类比等差数列前n项和公式的求法？ 类比等差数列前

(三)方法回顾 等差数列求和公式的推导

数列 an}为等差数列，其前n项和为Sn { Sn = a1 + a2 +L+ an 1 + an ① Sn = an + an 1 +L+ a2 + a1②

根据①式，如何构造另一个式子②? ① 根据① + ② 得： 如何构造另一个式子② 把这两个式子怎么样？ 把这两个式子怎么样？

2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an 1) +L+ (an 1 + a2 ) + (an + a1)n(a1 + an ) ∴2Sn = n(a1 + an ) Sn = 2 的目的：出现相等的项， 倒序相加 的目的：出现相等的项，从而化简

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n已知数列 an}为等比数列，请推导其前n项和公式 {

Sn = a1 + a2 +L+ an 1 + an =

?

问题1 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 问题1:对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 倒序相加 进行求和呢?请大家动手试试。 进行求和呢?请大家动手试试。 解析1:找个具体的等比数列来检验 解析1

Sn = 1+ 2 + 4 + 8 +16 Sn = 16 + 8 + 4 + 2 +1 2Sn = (1+16) + (2 + 8) + (4 + 4) + (8 + 2) + (16 +1) = 17 +10 + 8 +10 +17每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简! 每个括号里的值不相等,不能写成n倍来化简!

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n已知数列 an}为等比数列，请推导其前n项和公式 {

Sn = a1 + a2 +L+ an

1 + an =

?

问题1 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 问题1:对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 倒序相加 进行求和呢?请大家动手试试。 进行求和呢?请大家动手试试。 解析2:一般地，对于等比数列，因为： 解析2 一般地，对于等比数列，因为：

(a1 + an ) ≠ (a2 + an 1) ≠ L所以

2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an 1) +L+ (an 1 + a2 ) + (an + a1)

≠ n(a1 + an )

无法化简

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n已知数列 an}为等比数列，请推导其前n项和公式 { 2 n 2 n 1 SnSn a1 a1 +1q +Lq an 1 + an q + a1q ① = = + aa2 + a1+ +L+ a1 =

?

问题1 对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 问题1:对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法 倒序相加 进行求和呢?请大家动手试试。 进行求和呢?请大家动手试试。 反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。 倒序相加的方法 反思：对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 而是要挖掘此方法的本质(求和的根本目的)。 问题2 求和的根本目的是什么？ 问题2:求和的根本目的是什么？ 答：求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 求和的根本目的是消项。消项后就可化简。 消项 改进：为了看清式子的特点， 改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首 项和公比来表示。 项和公比来表示。

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n已知数列 an}为等比数列，请推导其前n项和公式 { 2 n 2 n 1 Sn = a1 + a1q + a1q +L+ a1q + a1q ①

qSn = a1q + a1q + a1q +L+ a1q2 3

n 1

+ a1q

n

②

问题3 观察求和的式子① 相邻两项有什么特征？ 问题3:观察求和的式子①,相邻两项有什么特征？ 怎样把某一项变成它的后一项？ 后项=前项× 怎样把某一项变成它的后一项？ 后项=前项×公比 问题4:类比等差数列求和方法，需要构造另一个式子 问题4 类比等差数列求和方法， 相同的项 而要达到消项的目的，就须使两式具有____ ②,而要达到消项的目的，就须使两式具有____ 问题5 如何构造式子② 将式子① 问题5:如何构造式子②? 将式子①的两边都乘以 q 问题6 为了消项，接下来将这两个式子怎么样？ 问题6:为了消项，接下来将这两个式子怎么样？ 相减

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n

Sn = a1 + a1q + a1q +L+ a1q2

n 2

+ a1q

n 1

① ②

qSn = a1q + a1q + a1q +L+ a1q2 3

n 1

+ a1qn

n

① - ② 得：

(1 q)Sn = a1 a1q

问题7: ≠ 0,即 ≠ 1 时，除以 1 q得： 问题 q要求出 Sn ,是否可以把上式两边同除以1 q? 当 17 q 当 1 q = 0,

即 = 1 时， Sn = a1 + a2 q Sn = ?

+L+ an = a1 + a1 +L+ a1 = na1

注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！ 注意：分类讨论是一种常用的数学思想方法！

(四)类比探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n

探究成果： 探究成果：

设等比数列 an} { 的前n项和为 Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an则

当q≠1时， 时 当 q=1 时， Sn = na1

①

(四)类比探究

方法小结： 方法小结：

等差数列 联想我们所学过的知识，即类比____ 联想我们所学过的知识，即类比____ 求和方法 挖掘其方法的___(求和的 本质 ____,挖掘其方法的___(求和的 ____,挖掘其方法的___( 消项 根本目的是___), ___),结合等比数列自身 根本目的是___),结合等比数列自身 特征 来构造式子② 再把两式___, 相减 ___来构造式子 的___来构造式子②,再把两式___, 错位相减 这种求和方法叫做______ 这种求和方法叫做______课后思考： 课后思考：用错位相减法求和时只能乘以公比 能否乘以其它的数？ 吗？能否乘以其它的数？

(五)方程探究 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n

Sn = a1 + a1q + a1q +L+ a1q2

n 2

+ a1q

n 1

①

问题1 还有其它的推导方法吗？ 问题1:还有其它的推导方法吗？ 问题2:根据①式的特点，能否建立一个关于 问题2 根据①式的特点， 若能， 若能，就可从方程中解出 Sn 的方程？ Sn的方程？

问题3 的方程, 问题3:①式的左边是 Sn ,要建立一个关于S 的方程,那 n 就要将① 的式子来表示。 就要将①式的右边也用含 Sn 的式子来表示。 问题4 观察①式的右边，从第二项开始， 问题4:观察①式的右边，从第二项开始，每一项都含 是否可考虑将之提出 …… 此处隐藏：3259字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……