3.3.3-.3.3.4点到直线的距离-两条平行直线间的距离

复习引入两点间的距离公式是什么？ 两点间的距离公式是什么？ 已知点 P ( x1 , y1 ),P2 ( x2 , y2 ) ,则 1y

P P2 = 1N2

(x2 x1 ) + ( y2 y1 )2

2

.

P2

M2

OQ

M1N 1 P1

x

问题：在铁路 附近P地要修建一条公路使之连 问题：在铁路MN附近 地要修建一条公路使之连 附近 接起来,问 如何设计才能使公路最短 如何设计才能使公路最短? 接起来 问:如何设计才能使公路最短M地 地

N地 地

P地 地

点作MN的垂线 设 的垂线,设 过P点作 点作 的垂线 垂足为Q,则垂线段 则垂线段PQ 垂足为 则垂线段 问题：在铁路MN附近 地要修建一条公路使之连 附近P地要修建一条公路使之连 问题：在铁路 附近 的长度就是点P到直线 的长度就是点 到直线 MN的距离 接起来,问 如何设计才能使公路最短 的距离 如何设计才能使公路最短? 接起来 问:如何设计才能使公路最短 的距离.

得到简化图形: 得到简化图形

QM地 地 N地 地

P地 地

即求P到 即求 到MN 上一点的 最短距离

点到直线距离公式y y0

|x0|P0 (x0,y0)

|y0|O x0 x

点到直线距离公式y

|y1-y0|y = y1

y1 y0 O

|x1-x0|x = x1

P0 (x0,y0) x0 x1 x

已知点 P0 ( x0 , y0 ) ,线 l : Ax + By + C = 0 ,如何求 点 P0 到直线 l 的距离？y

lQ

P0O x

知识探究： 知识探究：点到直线的距离y

l : Ax + By + C = 0思路一： 思路一：定义法Q直线 l 的方程 直线 l 的斜率

P0 (x0,y0)` l O x

l ⊥ P0Q点P0的坐标 直线P Q的斜率 0

直线 l 的方程交点

直线 P Q的方程 0

点P0的坐标 点P、Q 之间的距离0

点Q 的坐标

两点间距离公式

P0Q P0 到 l 的距离) 的距离) (

知识探究： 知识探究：点到直线的距离P y l Q O x l:Ax+By+C=0 P(x0,y0) (

B 2 x 0 ABy 0 AC Q(x, y)满足 满足: 满足 x= A2 + B 2 Ax+By+C=0 ABx 0 + By 0 BC B x-Ay-Bx0+Ay0=0 y= A2 + B 2 A( Ax0 + By0 + C ) x x0 = A2 + B 2 B( Ax0 + By0 + C ) y y0 = A2 + B 2

| PQ |= ( x x0 ) + ( y y0 )2

2

A( Ax0 + By0 + C ) 2 B( Ax0 + By0 + C ) 2 = [ ] +[ ] 2 2 2 2 A +B A +B | Ax0 + By0 + C | = A2 + B 2

结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为 的距离为: 到直线 的距离为

d=

| Ax0 + By0 + C | A +B2 2

知识探究： 知识探究：点到直线的距离 你还有其他方法吗？问题1:已知一直角三角形的两条直角边长度为 问题 ：已知一直角三角形的两条直角边长度为3 和4,如何求斜边上的高？ ,如何求斜边上的高？

等面积法： 等面积法：

点到直线距离公式yAx + C x0, 0 S B

Q l : Ax + By + C = 0 d y0 O P0 (x0,y0) x0 By0 + C , y0 R A

x

1 | P0 S || P0 R | 2

=

1 d | SR | 2

点到直线距离公式y S Q P0 O (x0,y0) d

l : Ax + By + C = 0R x

d RS = PR PS∴d A2 + B 2 Ax0 + By0 + C AB

d=

| Ax0 + By0 + C | A +B2 2

Ax0 + By0 + C Ax0 + By0 + C = . A B

你的方法用完了吗？Q(x, y)满足 满足: 满足

Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0 A(x-x0)+B( y-y0)= -Ax0-By0-C ------- ① B(x-x0)–A( y-y0)=0 -------------② ② ①2+②2: ② (A2+B2)[(x-x0)2+( y-y0)2]=(Ax0+By0+C)2

d =| PQ|= ( x x0 ) + ( y y0 ) =2 2

| Ax0 + By0 + C | A +B2 2

点到直线的距离 的距离： 点 P0 ( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离：y

lQ

d=

Ax0 + By0 + C A +B2 2

P0O

x 1.此公式是在 、B≠0的前提下推导的 如果 此公式是在A、 的前提下推导的,如果 此公式是在 的前提下推导的 如果A=0或B=0,此 或 ， 公式恰好也成立； 公式恰好也成立； 2.如果 如果A=0或B=0,一般不用此公式； 如果 或 ，一般不用此公式； 3.用此公式时直线要先化成一般式。 用此公式时直线要先化成一般式。 用此公式时直线要先化成一般式

典型例题(2 1 求点P(-1,2)到下列直线的距离：①2x+y-10=0;) 5 到下列直线的距离： 例1 求点 到下列直线的距离 ；8 2 ②5x=3 () 5

y P(-1,2) O

用公式验证试试？ 用公式验证试试？x l:5x=3

x y 变式1.点P(m n, m)到直线 + = 1的距离等于多少？ m n

m +n2

2