高中数学人教版必修4第三章 3.1.1

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3.1.1 两角差的余弦公式

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目标定位目 标 要 求 1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程，进一步体会向量方法的作用. 2.能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换(包括 化简、 求值、 证明等), 尤其要注意公式的灵活运用， 如逆用、 角度变换等. 3.三角恒等变换是高考必考内容，而两角差的余弦公 式是最基本的公式之一，在考题中一定会涉及，各类题型均 会出现.

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热 点 提 示 1.两角差的余弦公式是本章所有公式的基础，其他一系 列公式都可以通过诱导公式、同角关系或变形得到，因此应 理解该公式的证明过程，要记住这一公式. 2. 进行三角函数式的求值， 要特别注意角的范围的讨论， 以决定函数值的符号. 3.本节主要应用了角度的变换技巧，如 β=(α+β)-α 等. 4.要注意灵活运用公式，对公式进行变形.

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知识预览1.在平面直角坐标系中作单位圆 O,以 Ox 为始边作角 α、β, → 它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A、B,则OA=(cosα,sinα), → → → → → OB=(cosβ,sinβ);OA· = OA OB OB cos(α-β)=cos(α-β).

2.cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

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●想一想：用向量法证明公式 Cα-β 的过程中角 α,β 的 → → 终边与单位圆分别相交于点 A、B,向量OA、OB的坐标是如 何得到的？

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→ → 提示：由于向量OA的起点为原点，所以向量OA的坐标 就是点 A 的坐标， 又因为点 A 在角 α 的终边上且|OA|=1, 由 yA xA 任意角正弦、余弦函数的定义知 sinα= ,cosα= ,因此 1 1 → → xA=cosα, A=sinα, y 即有OA=(cosα, sinα), 同理可求向量OB 的坐标.

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自测自评1.cos345° 的值等于( 2- 6 A. 4 2+ 6 C. 4 ) 6- 2 B. 4 2+ 6 D.- 4

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解析：cos345° =cos(-15° +360° )=cos(-15° )=cos15° 2 3 2 =cos(45° -30° )=cos45° cos30° +sin45° sin30° = × + 2 2 2 6+ 2 1 × = . 2 4

答案：C

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2.cos60° cos15° +sin60° sin15° 等于( A.cos30° B.sin60° C.cos45°

) D.cos60°

解析

: 原式=cos(60° -15° )=cos45° . 答案：C

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3.cos(-40° )cos20° -sin(-40° )sin(-20° )=________.

解析：原式=cos20° cos(-40° )+sin20° sin(-40° ) 1 =cos[20° -(-40° )]=cos60° . = 2

1 答案： 2

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4.cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα 等于________.

解析：cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=cos(α+β-α)= cosβ.

答案：cosβ

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π 3 π 5.设 α∈(0, ),若 sinα= ,求 2cos(α- )的值. 2 5 4π 3 4 解：∵α∈(0, ),sinα= ,∴cosα= , 2 5 5 π ∴ 2cos(α- ) 4 π π 3 4 7 = 2(cosαcos +sinαsin )=cosα+sinα= + = . 4 4 5 5 5

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