最新数学人教A版必修4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

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[A.基础达标]

1．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为120°，则|a －b |的值为( )

A ．1 B. 3

C ．2 3

D ．3 2

解析：选C.|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2

＝22－2×2×2×cos 120°＋22＝12.

∴|a －b |＝12＝2 3.

2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．5

解析：选A.因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝6，两式相减得：4a·b ＝4，所以a·b ＝1，故选A.

3．已知向量a ，b ，满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.2π3

C.3π4

D.5π6

解析：选D.设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )， 所以a ·(a ＋b )＝a 2＋a·b ＝|a |2＋|a ||b |cos θ＝9＋63cos θ＝0，则cos θ＝－

32， 又因为θ∈[0，π]，∴θ＝5π6

， 即a 与b 的夹角为5π6

. 4．对于非零向量a ，b ，下列命题中正确的是( )

A ．a ∥b ?a 在b 方向上的投影为|a |

B ．a·b ＝0?a ＝0或b ＝0

C ．a ⊥b ?a·b ＝(a ·b )2

D ．a·c ＝b·c ?a ＝b

解析：选C.选项A ：∵a ∥b ，∴θ＝0或π，所以所求投影为|a |cos θ＝±|a |； 选项B ：a·b ＝0?a ＝0或b ＝0或a ⊥b ；

选项C ：a ⊥b ?a·b ＝0?a·b ＝(a ·b )2；

选项D ：a·b ＝a·c ?(a －b )·c ＝0?a ＝b 或(a －b )⊥c ，故选C.

5．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )

A.π2

B.π3

C.π6 D ．π

解析：选B.∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，

|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，

∵tan ∠COA ＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.

6．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120°，而a 在e 方向上的投影为－2，则

|a |＝________.

解析：∵|a |·cos 120°＝－2，

∴|a |·(－12

)＝－2， ∴|a |＝4.

答案：4

7．若向量a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东60°方向，且|a |＝|b |＝1，则(－3a )·(a ＋b )＝________.

解析：设a 与b 的夹角为θ，则θ＝120°，∴(－3a )·(a ＋b )＝－3|a |2－3a ·b ＝－3－

3×1×1×cos 120°＝－3＋3×12＝－32

. 答案：－32

8．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝4，(12

a ＋

b )·(2a －3b )＝12，则|b |＝________. 解析：∵(12

a ＋

b )·(2a －3b ) ＝|a |2＋12

a·b －3|b |2 ＝16＋12

|a ||b |cos 60°－3|b |2 ＝16＋|b |－3|b |2，

即16＋|b |－3|b |2＝12，

∴3|b |2－|b |－4＝0，

解得|b |＝43

. 答案：43

9．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，

求(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |.

解：由已知得a·b ＝4×2×cos 120°＝－4，

a 2＝|a |2＝16，

b 2＝|b |2＝4.

(1)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12，

所以|a ＋b |＝2 3.

(2)因为|3a －4b |2＝(3a －4b )2

＝9a 2－24a·b ＋16b 2

＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，

所以|3a －4b |＝419.

10．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.

(1)求|a ＋3b |的值；

(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．

解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，

所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.

因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，

所以9－6a·b ＋1＝5，

所以a·b ＝56.

所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2

＝1＋6×56＋9×1＝15.

所以|a ＋3b |＝15.

(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.

因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2

＝3×1＋8×56－3×1＝203.

所以cos θ＝(3a －b )·(a ＋3b )|3a －b ||a ＋3b |＝20

3

5×15＝43

9.

因为0°≤θ≤180°，

所以sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－(43

9)2＝33

9.

所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为33

9.

[B.能力提升]

1.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →＝(

)

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析：选C.由∠ACB ＝90°，得CA →·CB →＝0.

又由BM →＝3MA →，得CM →－CB →＝3(CA →－CM →)， 解得CM →＝3

4CA →＋14CB →

，

所以CM →·CB →＝(34CA →＋14CB →)·CB →

＝34CA →·CB →＋1

4CB →2＝14×42＝4.

2．设a ，b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( )

①若a·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |；

②|a·b |＝|a ||b |；

③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；

④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb .

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

解析：选B.对于①，当a·b ＝0时，|a ＋b |＝

a 2＋2a·

b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a －b |，∴①正确；

对于②，∵a·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a 与b 的夹角)，

∴|a·b |＝|a ||b |不一定成立，∴②错误；

对于③，当a ＝λb 时，则|a ＋b |＝|λb ＋b |＝|b ||λ＋1|，|a |＋|b |＝|λb |＋|b |＝|b |(|λ|＋1)， |a ＋b |＝|a |＋|b |不一定成立，∴③错误；

对于④，当|a ＋b |＝|a |－|b |时，

∴a 2＋2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，

∴a·b ＝－|a ||b |，∴a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，∴④正确．

综上，正确的是①④.故选B.

3．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠B ＝30°，则向量AB →在向量AC →上的投影等于________．

解析：因为在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠B ＝30°，

所以∠BAC ＝120°，因此向量AB →在向量AC →上的投影为|AB →|cos 120°＝－12

. 答案：－12

4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3

，则实数λ＝________. 解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa·b ，而a ，b ，

c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3

，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝ …… 此处隐藏：2761字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……