放缩法证明_数列+不等式_问题的两条途径

放缩法证明_数列+不等式_问题的两条途径

放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。

1、 先放缩再求和

例1 （05年湖北理）已知不等式1111 [log2n],其中n为不大于2的整数，23n2

[log2n]表示不超过log2n的最大整数。设数列 an 的各项为正且满足a1 b(b 0),an nan 12b，n 3,4,5 (n 2,3,4 )，证明：an 2 b[log2n]n an 1

nan 1111得： anan 1nn an 1分析：由条件an

111 (n 2) anan 1n

1

an 1 1an 2 1 n 1

……

111 a2a12

以上各式两边分别相加得：

11111 ana1nn 12

11111 anbnn 12

11 [log2n] (n 3) b2

=2 b[log2n] 2b

an 2b (n 3) 2 b[log2n]

本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。

例2 （04全国三）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn 2an ( 1)n， n 1

放缩法证明_数列+不等式_问题的两条途径

（1）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：对任意的整数m 4，有1117 a4a5am8

分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：an Sn Sn 1 2an ( 1)n 2an 1 ( 1)n 1（n>1）

化简得：an 2an 1 2( 1)n 1

anan 1anan 122, 2 2 2[ ] nn 1nn 133( 1)( 1)( 1)( 1)

故数列{an22 a }是以为首项, 公比为 2的等比数列. 1n33( 1)

故an2n 221nn 1a [2 ( 1)] ∴ ( )( 2)nn333( 1)

2n 2[2 ( 1)n]. 3∴数列{an}的通项公式为：an

⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=1113111 [2 3 m 2]，如果我们把ma4a5am22 12 12 ( 1)

1111 ， 23232 12 122上式中的分母中的 1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：

11111 ，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可343422 12 1222 1

求和。这里需要对m进行分类讨论，（1）当m为偶数(m 4)时，

11111111 ( ) ( ) a4a5ama4a5a6am 1am

13111 (3 4 m 2) 22222

1311 (1 m 4) 2242

137 288

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（2）当m是奇数(m 4)时，m 1为偶数，

111111117 a4a5ama4a5a6amam 18所以对任意整数m 4，有7111 。 a4a5am8本题的关键是并项后进行适当的放缩。

2、 先求和再放缩

例3（武汉市模拟）定义数列如下：a1 2,an 1 an an 1,n N 证明：（1）对于n N恒有an 1 an成立。

（2）当n 2且n N，有an 1 anan 1 a2a1 1成立。

（3）1 21

22006 111 1。 a1a2a2006

分析：（1）用数学归纳法易证。

（2）由an 1 an an 1得： 2

an 1 1 an(an 1)

an 1 an 1(an 1 1)

… …

a2 1 a1(a1 1)

以上各式两边分别相乘得：

an 1 1 anan 1 a2a1(a1 1)，又a1 2 an 1 anan 1 a2a1 1

（3）要证不等式1 1

22006 111 1， a1a2a2006

可先设法求和：111 ，再进行适当的放缩。 a1a2a2006

an 1 1 an(an 1)

1

an 1 1 11 an 1an

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111 anan 1an 1 1

111 a1a2a2006

111111 ) ( ) ( ) a1 1a2 1a2 1a3 1a2006 1a2007 1 (

11 a1 1a2007 1

1 1 a1a2 a2006

2006 1 又a1a2 a2006 a1 22006

1 11 1 2006 a1a2 a20062

原不等式得证。

本题的关键是根据题设条件裂项求和。