连续型随机变量及其概率密度

概率论与数理统计

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第四节 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度函数 概率密度函数的性质 三种重要的连续型随机变量

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一、连续型随机变量及其概率密度函数

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(Continuous Random Variable) (Probability Density Function)

对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数 f (x) , 使得对任意实数 x∈( ∞, +∞) ,使得对任意实数 x , 有 ∈

F ( x) = ∫ f ( t ) dt = P( X ≤ x)x ∞

为连续型随机变量, 则称 X为连续型随机变量 为连续型随机变量 概率密度函数, 简称为概率密度 称 f (x) 为 X 的概率密度函数 简称为概率密度 . 连续型随机变量的分布函数在 R上连续

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二、概率密度函数的性质1o 2oo

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f (x) ≥ 0

∫

∞

∞

f (x)dx =1

这两条性质是判定一个 是否为某r 函数 f(x)是否为某 .v X 的 是否为某 概率密度的充要条件f (x)

3 对于任意实数 x1 , x2, (x1 < x2 ), x2 P{x1 < X ≤ x2 } = ∫ f ( x)dxx1

面积 为1

利用概率密度可确定随机 点落在某个范围内的概率

o

x

4o 若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有 F′( x) = f ( x).

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的进一步理解: 对 f(x)的进一步理解 的进一步理解* 若 x 是 f(x) 的连续点，则 的连续点，

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P( x < X ≤ x + x) F ( x + x) F ( x) = lim f ( x) = lim + x→0+ x→0 x x

这一点的值, 恰好是X 故X的密度 f(x) 在 x 这一点的值 恰好是 落在 的密度 之比的极限. 区间 ( x, x + x]上的概率与区间长度 x 之比的极限 这里，如果把概率理解为质量， 相当于线密度. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线密度 * 若不计高阶无穷小，有 若不计高阶无穷小，

P{x < X ≤ x + x} = f ( x) x

表示随机变量 X 取值于( x, x + x]的概率近似等于f ( x) x .

f ( x) x 在连续型 r .v 理论中所起的作用与 理论中所起的作用相类似 P( X = xk ) = pk 在离散型 r .v 理论中所起的作用相类似.

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* 注意 密度函数 f (x)在某点处 的高度 并不反映 取值的概率 注意: 在某点处a的高度 取值的概率. 在某点处 的高度, 并不反映X取值的概率 但是, 这个高度越大, 附近的值的概率就越大. 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 取 附近的值的概率就越大 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度. 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 f (x)

o

a

x

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注意: 注意

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(1) 连续型 取任一指定实数值a 的概率均为 即 连续型r.v取任一指定实数值 的概率均为0. 取任一指定实数值 P{ X = a} = 0 . 这是因为 0 ≤ P{X = a} ≤ P{a x < X ≤ a} = F(a) F(a x) 当 x → 0 +时 , 得到 P{ X = a} = 0 . = 由P(A)=0, 不能推出 A= 由P(B)=1, 不能推出 B=S

(2) 对连续型 r.v X , 有P

(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)

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1 X 例 设随机变量 具有概率密度 kx, x f ( x) = 2 , 2 0, 7 3 P ( )求 1 < X ≤ 2 0≤ x < 3 3≤ x ≤4 其它

1 k( ) X F ()确定常数 ; 2 求 的分布函数 ( x);

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kx, x 解 f ( x) = 2 , 2 0, +∞

0≤ x < 3 3≤ x ≤4 其它

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1 (1) 由 f ( x)dx = 1得k = ∫ ∞ 6034

x

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F ( x) = ∫ f ( t ) dt , ∞ < x < +∞x ∞

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(2) 分布函数 x<0 0, xx 0≤ x < 3 ∫0 6 dx, F( x) = 3 x x x ∫0 6 dx + ∫3 2 2 dx, 3 ≤ x < 4 x≥4 1,] x

0

] x

3

] ] x4x

x

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即分布函数 0, 2 x , 12 F( x) = 2 3 + 2x x , 4 1, x<0 0≤ x < 3 3≤ x <4 x≥4

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7 41 7 3 ( )P 1 < X ≤ = F F(1) = 2 48 2

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三、三种重要的连续型随机变量1. 均匀分布(The Uniform Distribution) 的概率密度为： 若 r .v X的概率密度为： 的概率密度为

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f (x)

1 , a< x<b f ( x) = b a a b 0, 其它 则称X在区间 在区间( 上服从均匀分布， 则称 在区间 a, b)上服从均匀分布，记作 上服从均匀分布

X ~ U(a, b)*均匀分布常见于下列情形： 均匀分布常见于下列情形： 均匀分布常见于下列情形 如在数值计算中， 如在数值计算中，由于四舍五 入， 小数点后某一位小数引入的误差； 小数点后某一位小数引入的误差； 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间， 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间， 即乘客的候车时间等。 即乘客的候车时间等。

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若X ~ U(a, b), 1 对于长度l为的区间 c, c + l ), a ≤ c < c + l ≤ b, 有 ( P{c < X ≤ c + l} =2° X的分布函数为：c+l °

∫c

1 l dx = b a b a

x<a 0, x a F( x) = P{ X ≤ x} = , a≤ x<b b a x≥b 1

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