小波分析读书报告

小波分析读书报告

姓名:胡小勇

学号:1213490127

班级:管理一班

一.综述

小波分析是在Fourier分析的基础上发展和继承而来的，是泛函分析的重要范例。作为时-频分析方法，小波分析比Fourier分析有着本质性的进步。小波分析提供了一种自适应的时域和频域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频局部信号，它都能自动调节时-频窗，以适应实际分析的需要。小波分析在局部时-频分析中具有很强的灵活性，能聚焦到信号时段的任意细节，被喻为时-频分析的显微镜。小波分析的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的方便。它的这些特点使得时-频分析和应用得到了辉煌的发展。现在，小波分析的方法已广泛应用于信号处理，图像处理，模式识别，语音识别、电磁场、机器视觉、监控、通信与电子系统等众多学科和相关技术的研究中，由小波分析带来的高新技术成果迅速增加，其研究正在向纵深发展。

小波分析的历史是科学家、工程师、数学家们共同创造的历史。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师Jean Morlet在1974年首先提出的，1981年在分析地质震动波的过程中，面对传统Fourier变换无法适应需要的窘境，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，提出了“Morlet”小波基，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家http://www.77cn.com.cngrange，http://www.77cn.com.cnplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且

J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer对Morlet方法进行了系统的研究，偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建了构造小波基的多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展

起来，其中1988年，比利时女数学家I.Daubechies又提出紧支集光滑小波基，使小波理论进一步系统化，她撰写的《小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)》对小波的普及起了重要的推动作用。从此，小波分析及应用引起了世人广泛的重视，并取得了瞩目的成就。

它与Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为"数学显微镜"，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

二.Haar小波读书体会

( )，使 (t k) k Z为一组正交归一基； 1、 选择 (t)或

2、 求hn。

hn (t), 1,n(t)

(2 )/ ( ) 或H( )

3、 由hn求gn。

gn ( 1)nh1 n 或 G( ) e i H( t )

4、 由gn， (t)构成正交小波基函数 (t)

( ) G( /2) ( /2) (t) gn 1,n(t) 或

Haar小波的构造

1）、选择尺度函数。

1 0 t 1 (t) 0 其他

易知 (t n)关于n为一正交归一基。

2）、求hn

（2t-n)dt hn (t),

1,n(t) (t)其中

n 1 n1 t (2t n) 22

0 其他

当n=0时，

1 1 t (2t) 2

0 其他

当n=1时，

1 1 t 1 (2t 1) 2

0 其他

故，当n=0，n=1时

(t) (2t n)

当n=0时， 1 n n 0 其他

1 1 t (t) (2t n) 2

0 其他

当n=1时，

1 1 t 1 (t) (2t n) 2 0 其他

故

1/n n （2t-n)dt hn

(t) 0 其他

3）、求gn。

1/n 0 1/n 1

0 其他 gn ( 1)nh1 n

4）、求 (t)。

(t) gn 1,n(t)

=g0 -1,0(t) g1 1,1(t)

(2t)(2t 1) 1 1 0 t 2 1 = 1 t 1 2 0 其他

其图形如下：

1、 Haar尺度函数

(t) 1 0 t 1

0 其他

jjjjjHaar尺度函数空间： , (2x 2), (2x 1), (2x), (2x 1), (2x 1), j为非负的整数，该空间又称为j级阶梯函数空间Vj。则

V0 V1 V2 Vj 1 Vj Vj 1

随j的增加，分辨更为精细。

2、 性质

函数集2j/2 (2jx k):k Z 是Vj的一个标准正交基。

f(x) V0当且仅当f(2jx) Vj。

3、 Haar小波函数

函数满足两点：（1） 是V1的成员；（2） 与V0正交。

(x) (2x) (2x 1)

性质： (x)dx 0

(x)是对称的、局部支撑的函数；

小波函数空间Wj: ak (2jx k),ak R

k Z

Wj是Vj的正交互补，即Vj 1 Vj Wj

函数集2j/2 (2jx k):k Z 是Wj的一个标准正交基

4、 Haar小波分解与重建

对Haar小波，有 (2jx) ( (2j 1x)

(2j 1x))/2

(2jx 1) ( (2j 1x) (2j 1x))/2

Haar小波分解定理：

设：fj(x) ak (2jx k),fj(x) Vj

k Z

则它可以有如下分解：

fj fj 1 j 1

fj 1 akj 1 (2j 1x k),fj 1(x) Vj 1

k Z

j 1 bkj 1 (2j 1x k), j 1(x) Wj 1

k Z

a2k a2k 1 2

a a2k 1bkj 1 2k 2

把函数f分解成一个小波空间与一个尺度空间的分量 akj 1 f(x) 2 (4x) 2 (4x 1) (4x 2) (4x 3)

解：按照分解定理，此j=2,；k=0,1,2,3对应的系数是2,2,1，-1；代入公式，1 12 2 0；分解后小波函数空 2，得出分解后尺度函数空间元素的系数是22

2 21 ( 1) 0， 1；从而 间元素的系数是22

f(x) 2 (2x) (2x 1)

三.小结

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验 …… 此处隐藏：4303字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……