同济版 工程数学

同济版 工程数学-线性代数第五版答案

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 201

(1)1 4

183201

解 1 4

183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4 abc

(2)bca

cababc

解 bca

cab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111

(3)abc

a2b2c2111

解 abc

a2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

41 (1)0125120214

2 07

41 解 1252024c2 c34210 1

23202 104 1 10

2 122 ( 1)4 3 140117c4 7c30010

3 14 4 110c2 c39910

123 142c00 2 0

1 2c31714

24 (2)31 15212103162 22

14214 解 3131c4 c22 14020521 106

2 32152122r4 r22036

3

2

122113240 0

140

r 4 r12

312122030

0 0 00

(3) bdabacae

bf cfcd deef

解 bdabbf accfcdae bce

deef

adbb cc ee

adfb c1111

1e 11 1 4abcde

f

a1 (4) 001b 1001c 100 1d

a1 解 001b 1001c 10r1 ar201 ab0 1b10 1d00a

1c 100 1d

aba0c3 dc2 abaad

( 1)( 1)2 1 1c1 1c1 cd

0 100 1d

5 证明:

abad abcd ab cd ad 1 ( 1)( 1)3 2 11 cd

a2abb2

(1)2aa b2b (a b)3;

111 证明

a2abb2c2 c1a2ab a2b2 a2

2aa b2b 2ab a2b 2a

00111c3 c11

222

ab ab aab a (a b)3 (b a)(b a)1 ( 1)2b a2b 2a

3 1

ax byay bzaz bxxyz

(2)ay bzaz bxax by (a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy

证明

ax byay bzaz bx

ay bzaz bxax by

az bxax byay bz

xay bzaz bxyay bzaz bx

ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx

a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx

a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz

(a3 b3)yzx

zxy

a2b2

(3)2

cd2

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2

0; (c 3)2(d 3)2

证明 a2b2

2

cd2

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2

(c c c c c c得) (c 3)2433221(d 3)2

a22b c2d22a 12b 12c 12d 12a 32b 32c 32d 32a 5

2b 5(c c c c得) 2c 543322d 5

a22b c2d2 1a (4)a2a4

1bb2b4

2a 12b 12c 12d 11cc2c4

1d d2d4

22222

2 0 22

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明 1a a2a4

1bb2b4

1cc2c4

1d d2d4

1110b ac ad a

0b(b a)c(c a)d(d a)

0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

(b a)(c a)(d a)b cd

2(b a)c2(c a)d2(d a)

11

(b a)(c a)(d a)0 c bd b

0c(c b)(c b a)d(d b)(d b a)1 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(c 1b a)d(d b a)

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) x

(5)

0an

1x 0an 1

0 1 0an 2

0000

xn a1xn 1 an 1x an x 1a2x a1

证明 用数学归纳法证明

x 1 x2 ax a 命题成立 当n 2时 D2 a122x a1

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有 1

Dn xDn 1 an( 1)n 1 x

1

0 1 1

00 x

00 1

xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得

an1 anna1n annann a1n

D1 D2 D3

a11 an1an1 a11a11 a1n

证明D1 D2 ( 1)

n(n 1)

2

D D3 D

证明 因为D det(aij) 所以 a11

an1 ann

D1 ( 1)n 1an1

a11 a1n

a21

a1nann a2n

a11a21

( 1)n 1( 1)n 2an1

a31

a1na2n

ann a3n

n(n 1)2

( 1)1 2 (n 2) (n 1)D ( 1) 同理可证 D2 ( 1) D3 ( 1)

n(n 1)2

D

a11 an1n(n 1)n(n 1)

( 1)2DT ( 1)2D a1n ann

n(n 1)2

D2 ( 1)

n(n 1)2

( 1)

n(n 1)2

D ( 1)n(n 1)D D

7 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式) (1)Dn 都是0 解 a0

Dn 0

01

0a0 00

00a 00

000 a0

10

0(按第n行展开) 0a

a1 1a

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元素

0an 1

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