第九章 期权定价公式及其应用 05.05.25

第九章

期权定价公式及其应用

第一节Black-Scholes期权定价公式 第一节 期权定价公式 一、引言

1. Black-Scholes公式 公式 经典的Black-Scholes期权定价公式是 经典的 期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的。 对于欧式股票期权给出的。其公式为

C ( S , T ) = SN ( d 1 ) Ke

rT

N ( d 2 ),

其中T是到期时间， 是当前股价 C 是当前股价， 其中 是到期时间，S是当前股价， ( S , T ) 是到期时间 是作为当前股价和到期时间的函 入期权的价格. 数的欧式买 入期权的价格

1 d1 = σ T

S σ log + (r + )T 2 K2

d2 = d1 σ TK是期权的执行价格，r是无风险证券的(瞬时) 是期权的执行价格， 是无风险证券的 瞬时) 是期权的执行价格 是无风险证券的( 收益率， 称为股价的波动率{volatility ,这是一个 收益率， 称为股价的波动率 这是一个 需要测算的参数} 需要测算的参数

σ

称为累积正态分布函数， N 称为累积正态分布函数，定义为

N (d ) =

1 2π

∫

d

∞

e

y2 2

dy

图1

期权价格曲线随到期时间T的变化 期权价格曲线随到期时间 的变化

Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的 公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。 例如,如果这里价格以元计 时间以年计,从而涉 如果这里价格以元计,时间以年计 例如 如果这里价格以元计 时间以年计 从而涉 及的两个比率都指的是年率。那么( 及的两个比率都指的是年率。那么(以下的等号实 际上都是近似等号) 际上都是近似等号)

Ke

rT

= 15 e

0 . 1 ( 0 . 25 )

= 14 . 6296

d1 =

log(18/15) + 0.1 + (0.15)2 (0.5) 0.25 0.15 0.25

0.21013 = = 2.8017 0.075

d 2 = d 1 0.15 0.25 = 2.7267

把这些值代入公式，得到 把这些值代入公式，得到:

C = 18N (2.8017) 15e

0.1( 0.25)

N (2.7267)

利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的 和 利用累积正态函数在点 处的 近似值，买入期权的价格是3.3749,即 近似值，买入期权的价格是 ，

C = 18 ( 0 . 997 ) 14 . 6296 ( 0 . 996 ) = 3 . 3749更精确的计算可得: 更精确的计算可得

C = 3.3714

2. 金融资产的定价问题 金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务 金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务 金融理论的一个基本问题。 金融理论的一个基本问题。 对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具， 对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具， 其价格都是通过净现值方法来确定的。 其价格都是通过净现值方法来确定的。 对于期权来讲，其风险究竟有多大? 对于期权来讲，其风险究竟有多

大?如何计算出相应 的风险溢价以及未来的现金流? 的风险溢价以及未来的现金流? 这都是较为难解决的问题。 这都是较为难解决的问题。

3. Black-Scholes公式发展过程 公式发展过程

(1) 巴列切尔公式 ( Bachelier 1900)Louis,在其博士论文 法国 数学家 Bachelier· Louis,在其博士论文 《The Theory of Speculation》中首次给出了欧式买 Speculation》 权的定价公式

C (S , T ) = SN (

S K

σ T

) KN (

S K

σ T

) + σ T n(

K S

σ T

)

n是标准正态分布的密度函数 是标准正态分布的密度函数

但他在建立模型时有3个假设与现实不符。 但他在建立模型时有3个假设与现实不符。 第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。 第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。 第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大 第二，认为在离到期日足够远的时候, 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。 于标的股票的价值，这显然也是不可能的。 第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况。 这也违背了股票市场的实际情况。

(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961) 的研究基础上,人们对期权定价问题进行 在Bachelier的研究基础上 人们对期权定价问题进行 的研究基础上 了长期的研究。 了长期的研究。 1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布” 年 提出了“股票价格服从对数正态分布” 提出了 的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。 的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。

C ( S , T ) = e SN ( d 1 ) (1 A) KN ( d 2 )

ρT

其中

1 S 1 2 d1 = log + (ρ + σ )T , K 2 σ T

ρ

d 2 = d1 σ T是股票价格的平均增长率， 是股票价格的平均增长率，

A是对应的风险厌恶程度。 是对应的风险厌恶程度。 是对应的风险厌恶程度

(3) 博内斯 ( Boness, 1964)1964年 Boness将货币时间价值的概念引入到期权 1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权 定价过程， 定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平 的差异。 的差异。

C ( S , T ) = SN (d1 ) Ke其中， 其中，

ρT

N (d 2 ),

1 S 1 2 d1 = log K + ( ρ + 2 σ )T , σ T

d 2 = d1 σ T

(4) 塞缪尔森 (Samuelson, 1965)1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上 年 著名经济学家萨缪尔森 把上 成果统一在一个模型中。 述 成果统一在一个模型中。

C ( S , T ) = Se其中

( ρ α ) T

N ( d 1 )

Ke

αT

N (d 2 )

d1 =

1

σ

1 2 S log K + ( ρ + 2 σ ) T , T d 2 = d1 σ T

是期权价格的平均增长率。 α 是期权价格的平均增长率。

1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把 年 他又与其研究生 合作， 合作 权价格作为标的股票价格的函数的思想。 期 权价格作为标的股票价格的函数的思想。 我们可以看到，所有这些公式都与后来的Black我们可以看到，所有这些公式都与后来的 Scholes公式有许多相似的地方。 公式有许多相似的地方。 公式有许多相似的地方

在1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权 1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权 提出Black 定价模型. 定价模型.

20世纪60年代末， 20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 世纪60年代末 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 并找到了建立期权定价模型的关键突破点, 个由标的股票和无风险债券的适当组合( 个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金) 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。 Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的 Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满 …… 此处隐藏：3047字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……