14.3.2因式分解平方差公式(1)

根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边 的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1.(2x-1)2=4x2-4x+1 否 2. 3x2+9xy-3x=3x(x+3y-1)

3.4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)4 . a2 + a - 2 = a ( a + 12 a

)

是 否 否

问题：你学了什么方法进行分解 因式？ 提公因式法把下列各式因式分解：

(1) ax - ay = a( x – y )

(2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1)(3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5)

比一比和老师比一比，看谁算的又快又准确！

322-312 8 2- 7 2 ( 15 ) ( ) 15

682-672 5.52-4.52

在横线内填上适当的式子，使等式成立： (1)(x+5)(x-5)= (2)(a+b)(a-b)= (3) x2-25 = (x+5)( (4) a2-b2 = (a+b)( x2-25 a2-b2 x-5 a-b ; ; ); )。

知识探索平方差公式：

(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)

整式乘法

因式分解

这种分解因式的方法称为公式法。

平方差公式：

2 2 + (a b)(a b) = a - b

整式乘法

两个数的和与两个数的差的乘积， 等于这两个数的平方差。

a - b = ( a+ b)( a - b)2 2因式分解

两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的乘积.

-b a ▲2

2

= (a ▲ + b )( a b) ▲

(1)公式左边：(是一个将要被分解因式的多项式)

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号， 并且能写成( )2-( )2的形式。(2) 公式右边:(是分解因式的结果)

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数 的差的形式。

a2 - b2= (a + b) (a - b)

下列多项式能转化成( )2-( )2的形式吗？ 如果能，请将其转化成( )2-( )2的形式。(1) m2 -1 = m2 -12 (2)4m2 -9 (3)4m2+9 = (2m)2 -32 不能转化为平方差形式

(4)x2 -25y 2 = x2 -(5y)2(5) -x2 -25y2 不能转化为平方差形式

(6) -x2+25y2 = 25y2-x2 =(5y)2 -x2

利用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b) 能用平方差公式分解因式的多项式的特点： (1)一个二项式. (2)每项都可以化成整式的平方.

(3)整体来看是两个整式的平方差.两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

把下列各式分解因式： (1) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (2) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) 从这两题可以 看出，分解因 式要注意什么 问题？

=2x(y+5)(y - 5)

铺路之石填空：(1) 1 =(36

±

1 )2 ; 6

(2) 0.81=( ±

0.9

) 2;

(3)9m2 = ( ±(5) 4(a-b)2=[ ± (6)1 2=[ (x+y) 16

3m )2;1 4

(4) 25a2b2=(±

5ab )2;

2; ] 2(a-b)

±

(x+y) ]2。

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做一做你能试着把下列各式分解因式吗？

(1)a2-16 =a2-( 4 )2 =(a+4)(a-4)(2)64-b2 =( 8 ) 2-b2=(8+b)(8-b)

a2 - b2= (a + b) (a - b) 把下列各式分解因式：1 )a2-82 = (a+8) (a -8) 看(1 谁 2 -y2 =(4x+y) (4x -y) ( 2 ) 16x 2 快 1 2 又 (3) 3 - y + 4x2=(2x + 1 y) (2x - 1 y) 9 对 3 3

(4) 4 4k2 -25

m2n2 =(2k+5mn) (2k -5mn)

例1 分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.分析：在(1)中，4x2 = (2x)2,9=32,4x2-9 = (2x )2 –3 2,即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m,x+q=n,则原式化为m2-n2.

(1) 4x2 – 9= (2x)2 – 3 2 = (2x+3)(2x – 3).

(2) (x+p)2 – (x+q) 2= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)] =(2x+p+q)(p–q).

a -b2

2

= ( a + b )( a - b )

2 - ( 3xy) 2 = 22 ((x+z) 2mn ) 2 2 (y+p) 2006 -2005 ==

结论： 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多 项式，只要被分解的多项式能转化成平方差 的形式，就能用平方差公式因式分解。