线性代数课件3.3

第三章

第三节 向量组的秩与 向量空间一、向量组的秩 二、向量空间

三、向量空间的维数, 基与坐标

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这一节我们利用向量的线性相关性的概念, 来定义“向量组的秩”, 并讨论一个向量组 中线性无关的向量最多有多少个。 向量组的秩也是一个重要的概念, 我们先看 一个例子。

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在R3中, 给定4个共面的向量a1, a2 , a3, a4(如图3.1所示), 它们显然是线性相关的。 k2a1

a3 a2 a1 a4k1a1 图3.1

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但他们中存在两个线性无关的向量, 而且任 一个向量都可以由这两个向量线性表示(例 如a1, a2 线性无关, a3和a4可由a1, a2 线性表示)。 此外它们中任意三个向量都是线性相关的, 即它们中任一个线性无关的部分组最多只含 “2”个向量, 数字“2”就叫做这个向量组的 秩。

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一、向量组的秩 定义3.9 设有向量组A:a1, a2 , …, as, 若在向 量组A中能选出r个向量a1, a2 , …, ar, 满足 (1)向量组A0:a1, a2 , …, ar线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1 个向量的话)都线性相关。 则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无 关组(简称极大无关组);极大无关组所含向 量的个数r称为向量组A的秩, 记作r(A)。 注：向量组的极大无关组可能不止一个。选择节次

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例如, 二维向量组 a1=(0, 1)T , a2=(1, 0)T , a3=(1, 1)T , a4=(0, 2)T 因为任意三个二维向量的向量组必定线性相 关, 又a1, a2 线性无关, 故a1, a2 是该向量组的一 个极大无关组。易知a2, a3 也是该向量组的极 大无关组, r(a1, a2 , a3, a4 )=2。

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定义3.9的两个条件分别表示出“线性无关” 和“极大”两个特点。 由于一个非零向量本身线性无关, 故包含非 零向量的向量组一定存在极大无关组； 而仅含零向量的向量组不存在极大无关组, 规定它的秩为0。 特别的, 如果一个向量组线性无关, 则其极 大无关组就是该向量组本身。

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对于只含有限个向量的向量组A: a1, a2 , …, an 它可以构成矩阵A=(a1, a2 , …, an)。 把定义3.9与上一章矩阵的最高阶非零子式及 矩阵的秩的定义作比较, 不难想到向量组A的 秩就等于矩阵A的秩, 即有

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定理3.7 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也 等于它的行向量组的秩。 证明 设A=(a1, a2 , …, an), r(A)=s, 则由矩阵的 秩的定义知, 存在A的s阶子式Ds≠0, 从而Ds所 在的s个列向量线性无关；又A中所有s+1阶子 式Ds+1=0, 故A中任意s+1个列向量线性相关。 因此Ds 所在的s列是A的列向量组的一个极大 无关组, 所以列向量组的秩等于s。 类似可

证矩阵A的行向量组的秩也等于s。 证毕选择节次

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推论3.3 矩阵A的行向量组的秩与列向量组 的秩相等。 由定理3.7的证明知, 若Ds是矩阵A的一个最 高阶非零子式, 则Ds所在的s列就是A的列向 量组的一个极大无关组；Ds所在的s行就是 A的行向量组的一个极大无关组。

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注记：可以证明，若对矩阵A仅施以初等行变 换得矩阵B, 则B的列向量组与A的列向量组间 有相同的线性关系。即行的初等变换保持了列 向量间的线性无关性和线性表出性。由此提供 了求向量组的极大无关组的方法： 以向量组中各向量为列向量组成矩阵后, 只做 初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵, 则可 直接写出所求向量组的极大无关组。 同理, 也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵, 通过做初等列变换来求向量组的极大无关组。选择节次

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例3.7 全体n维向量构成的向量组记作Rn, 求 Rn的一个极大无关组及Rn的秩。 解 在例3.3中, 我们已证明了n维单位坐标向 量构成的向量组E:ε1, ε2, …, εn是线性无关的, 又根据定理3.6的结论(2)知, Rn中任意个n+1 向量都线性相关, 因此向量组E是Rn 的一个 极大无关组, 且Rn的秩等于n。 显然, Rn的极大无关组很多, 任意n个线性无 关的n维向量都是Rn的极大无关组。选择节次

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向量组A与它自己的极大无关组A0是等价的。 这是因为A0组是A组的一个部分组, 故A0组总 能由A组线性表示； 而由极大无关组的定义知, 对于A中任意向量 a , r+1个向量a1, a2 , …, ar, a 线性相关, 而 a1, a2 , …, ar线性无关。 根据定理3.6(3)知a 能由a1, a2 , …, ar线性表 示, 即A组能由A0组线性表示。 所以A组与A0组等价。选择节次

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定义3.9′(极大无关组的等价定义) 设有向量 组A0:a1, a2 , …, ar是向量组A的一个部分组, 且满足 (1)向量组A0线性无关； (2)向量组A的任意向量都能由向量组A0线性 表示, 那么向量组A0是向量组A的一个极大无关组。

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例3.8 求向量组 a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T, 的秩和一个极大无关组, 并把不属于极大无 关组的向量用极大无关组线性表示。

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解 以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A, 并实施初 等行变换化为行阶梯形矩阵：4 1 -1 3 -3 1 -1 3 -3 2 3 1 0 1 -1 2 1 1 3 3 0 5 -5 10 A a1 , a 2 , a 3 , a 4 3 2 4 1 0 5 -5 10 0 0 0 0 1 0 2 1 0 -1 1 -2 0 0 0 0

知r(A)=2, 故向量组的极大无关组含2个向量。 而两个非零行的非

零首元分别在第1, 2列, 故 a1,a2为向量组的一个极大无关组。选择节次