2012年长沙市中考数学总复习 专题二 方程与不等式 一元二次方程

一元二次方程及应用

考点一 一元二次方程的定义 在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是 2,这样的整式方程 叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是 ax2+bx+c=0(a≠0).考点二 一元二次方程的常用解法2

1.直接开平方法：如果 x =a(a≥0),则 x=± a,则 x1 = a,x2 =- a. p p 2.配方法：如果 x2 +px+q=0 且 p2 -4q≥0,则 x+ 2=-q+ 2 . 2 2 p p p p x1 =- + -q+ 2 ,x2 =- - -q+ 2 . 2 2 2 2 2 -b± b -4ac 2 2 3.公式法：方程 ax +bx+c=0 且 b -4ac≥0,则 x= . 2a f 2 2 4.因式分解法：若 ax +bx+c=(ex+f)(mx+n),则 ax +bx+c=0 的根为 x1 =- ,x2 e n =- . m

考点三 列一元二次方程解应用题 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、 设、列、解、答六步.

考点四 一元二次方程根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 b2 -4ac. 2 2 1.b -4ac>0 一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则 x1,2 = -b± b2 -4ac ; 2a 2.b2 -4ac=0 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，即 x1 =x2 =- b ; 2a 3.b2 -4ac<0 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)没有实数根；

考点五

一元二次方程根与系数之间的关系

b 2 1.若关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两根分别为 x1 、x2 ,则 x1 +x2 =- , a c x1 ·x2 = . a 2 2.(简易形式)若关于 x 的一元二次方程 x +px+q=0 有两个根分别为 x1 、x2 ,则 x1 +x2 =-p,x1 ·x2 =q.

(1)(2010·桂林)一元二次方程 x2+3x-4=0 的解是( A.x1=1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-1,x2=-4 D.x1=1,x2=4

)

(

(2)(2010·眉山)已知方程 x2-5x+2=0 的两个解分别为 x1、x2,则 x1+x2-x1·x2 的值为 ) A.-7 B.-3 C.7 D.3(3)(2010·上海)已知一元二次方程 x2+x-1=0,下列判断正确的是( A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 )

(4)(2009·深圳)用配方法将代数式 a2+4a-5 变形，结果正确的是( A.(a+2)2-1 B.(a+2)2-5 C.(a+2)2+4 D.(a+2)2-9

)

【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法.【解答】(1)∵x2+3x-4=0,∴(x+4)(x-1)=0. ∴x+4=0 或 x-1=0.∴x1=-4,x2=1,故选 A. (2)根据根与系数的关系可得 x1+x2=5,x1·x2=2. ∴x1+x2-x1·x2=5-2=3,故选 D. (3)∵b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5>0, ∴方程有两个不相等的实数根，故选 B. (4)a2+4a-5=a2+4a+4-4-5=(a+2) 2-9,

故选 D.

解方程. (1)(2010·常州)x2-6x-6=0; (2)(2009·新疆)解方程(x-3)2+4x(x-3)=0.

【点拨】本组题考查一元二次方程的解法.

【解答】(1)x2-6x-6=0 移项，得 x2-6x=6, 配方，得(x-3)2=15,∴x-3=± 15. ∴x1=3+ 15,x2=3- 15. (2)(x-3)2+4x(x-3)=0 换公因式，得(x-3)(x-3+4x)=0,(x-3)(5x- 3)=0. 3 ∴x-3=0 或 5x-3=0.∴x1=3,x2= . 5

(2010·成都)若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+2k=0 有两个实数根， k 的取值范 求 围及 k 的非负整数值.

【点拨】本题考查一元二次方程的根的判别式，当 b2-4ac≥0 时，方程有两个实数根.【解答】∵方程 x2+4x+2k=0 有两个实数根， ∴b2-4ac=42-4×1×2k≥0. 即 16-8k≥0,解得 k≤2. ∴k 的非负整数值为 k=2,1,0.

(2010·济南)如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠 墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD.求该矩形草坪 BC 边的长.

【点拨】列一元二次方程解决实际问题时，要善于读取题中信息，找出表示题目全部意 义的等量关系.

【解答】设该矩形草坪 BC 边的长为 x 米，根据题意，得 32-x =120. x· 2 解得 x1=12,x2=20. ∵20>16,∴x=20 不合题意，舍去. 答：该矩形草坪 BC 边的长为 12 米.

1.方程(x-1) 2=4 的解是 x1=3,x2=-1.2.已知 x=1 是关于 x 的一元二次方程 2x2+kx-1=0 的一个根，则实数 k 的值是 k= -1.

3.方程 x(x+1)=5(x+1)的解是 x1=5,x2=-1.4.已知 2+ 3是方程 x2-4x+m=0 的一个根，则方程的另一个根为 x=2- 3,m 的 值为 1.

5.将一元二次方程 x2-6x-5=0 化成(x+a) 2=b 的形式，则 b=14.6.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2(k+r)x+d2=0 没有实数根，其中 k、r 分别为⊙O1、 ⊙O2 的半径，d 为此两圆的圆心距，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为外离.7.用配方法解方程：6x2-x-12=0. ... 3 4 x1= ,x2=- 2 3

8. 【前情提示】 为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依 照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答.也可以选用其他的解题方案，此时不必填 空，只需按照解答题的一般要求进行解答. 青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg, 求该村水 稻每公顷产量的年平均增长率.

【解题方案】 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x. (1)用含 x 的代数式表示： ①2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1+x); ②2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 8_000(1+x) 2; (2)根据题意，列出相应方程 8_000(1+x)2=9_680; (3)解这个方程，得 x1=0.1__x2=-2.1; (4)检验：x1=0.1,x2=-2.1 都

是原方程的根，但 x2=-2.1 不符合题意，所以只能取 x =0.1; (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.

考点训练 8

一元二次方程及应用 (训练时间：60分钟 分值：100分)

一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)

1.(2010·河南)方程 x2-3=0 的根是( ) A.x=3 B.x1=3,x2=-3 C.x= 3 D.x1= 3,x2=- 3【解析】x2-3=0,x2=3,x=± 3,即 x1= 3,x2=- 3.

【答案】D

2.(2010·玉溪)一元二次方程 x2-5x+6=0 的两根分别是 x1、x2,则 x1+x2 等于( A.5 B.6 C.-5 D.-6-5 b 【解析】x1+x2=- =- =5. 1 a 【答案】A

)

3.(2010·益阳)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则 b2-4ac 满 ... 足的条件是( ) A.b2-4ac=0 B.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≥0【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴b2-4ac>0.

【答案】B

4.(2010·杭州)方程 x2+x-1=0 的一个根是( ) 1- 5 -1+ 5 A.1- 5 B. C.-1+ 5 D. 2 2-1± 1+4 -1± 5 -1+ 5 -1- 5 【解析】x2+x-1=0,x= = ,即 x1= ,x2= . 2 2 2 2

【答案】D