2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4

1 第10课__几种常见的平面变换____

1. 了解矩阵的概念及几种常见的平面变换．

1. 阅读：选修42第12～35页.

基础诊断

1. 指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换． ①?

???????12－323212，②??????0.5001，③??????－100－1， ④??????1011，⑤????????12－32－123

2，⑥????

??1003， ⑦??????－1001，⑧??????1001，⑨??????100－1，⑩????

??1100.

2 恒等变换有________；伸压变换有________；反射变换有________；旋转变换有________；投影变换有________；切变变换有________．

2. 点(－1，)在伸压变换矩阵????

??m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，则m ＋＝________． 3. 旋转中心为坐标原点，且顺时针方向旋转π3

的旋转变换的矩阵为________________． 4. 求曲线y ＝x 在矩阵????

??0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．

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考向

计算，并从变换的角度说明其几何意义

例1 计算：????100－1???

?52.

计算：(1) ??????0110??????52；(2) ??????1－101????

??52.

考向

例2已知a，b∈R，若M＝

?

?

?

?

－1a

b3

所对应的变换T M把直线l：3－2y＝1变换为自身，试求a，b的值．

在平面直角坐标系Oy中，直线l：＋y＋2＝0在矩阵M＝

?

?

?

?

?

?

a0

b4

对应的变换作用下得到直线l′：3＋y＋8＝0，求3a＋b的值．

考向

M

(1) 求矩阵M；

(2) 若直线l在此变换下所得直线的解析式l′：11－3y－68＝0，求直线l的方程．

3

4

自测反馈

1. 求将曲线y 2＝绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．

2. 设矩阵M ＝????

??a 00b (其中a >0，b >0)，若曲线C ：2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24

＋y 2＝1，求a ＋b 的值．

3. 已知直线l ：a －y ＝0在矩阵A ＝????

??0112对应的变换作用下得到直线l ′，若直线l ′过点(1，1)，求实数a 的值．

1. 理解六种变换的含义，特别值得一提的问题：投影变换是一一映射吗？

2. 在某个确定矩阵变换下求变换后的曲线一般方法是什么？已知变换前的曲线和变换后的曲线如何确定变换的矩阵？

3. 你还有哪些体悟，写下;：

5

6 第10课 几种常见的平面变换

基础诊断

1. ⑧ ②⑥ ③⑦⑨ ① ⑤⑩ ④

评注：掌握恒等、伸压、反射、旋律、投影、切变变换的矩阵，不必死记，要从几何变换的角度去理解记忆． 2. －2 解析：??????m 001??????－1k ＝??????－2－4，则???－m ＝－2，k ＝－4，解得???m ＝2，k ＝－4，

所以m ＋＝－2. 3. ????????1232－32

12 解析：顺时针方向旋转π3，相当于逆时针方向旋转－π3，代入??????cos θ－sin θsin θcos θ＝????????1232－3212.

4. 解析：设点(，y)是曲线y ＝x 上的任意一点，在矩阵????

??0110的作用下点变换成(′，y ′)，则??????0110??????x y ＝??????x ′y ′，所以???x ′＝y ，y ′＝x ，即???x ＝y ′，y ＝x ′.

因为点(，y)在曲线y ＝x 上，

所以′＝y ′，即＝y ，所以y ＝2，≥0.

范例导航

例1 解析：??????100－1??????52＝????

??5－2，几何意义：由计算结果可知变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于轴对称的反射变换．

解析：(1) ??????0110??????52＝????

??25，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y ＝对称的反射变换．

(2) ??????1－101??????52＝??????1×5＋（－1）×20×5＋1×2＝????

??32，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿轴负方向的切变变换．

例2 解析：在直线l 上的任取一点P(，y)，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(′，y ′)

，

7 则??????－1a b 3??????x y ＝??????x ′y ′，?

??x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，所以点P ′(－＋ay ，b ＋3y )． 因为点P ′在直线l 上，

所以3(－＋ay )－2(b ＋3y )＝1，

即(－3－2b )＋(3a －6)y ＝1.

又因为方程(－3－2b )＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3－2y ＝1，

所以???－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得?

??a ＝43，b ＝－3.

解析：设点P (，y )是直线l 上的任意一点，P ′(′，y ′)是点P 在矩阵对应变换下所得曲线

上的点，则由??????x ′y ′＝??????a 0b 4??????x y ，得???x ′＝ax ，y ′＝bx ＋4y ，

代入3′＋y ′＋8＝0，得(3a ＋b )＋4y ＋8＝0，因为＋y ＋2＝0，所以3a ＋b ＝4.

例3 解析：(1) 不妨设M ＝??????a b c d ，则由题意得??????a b c d ??????1－1＝??????57，??????a b c d ??????－21＝????

??－36， 所以???a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝??????－2－7－13－20.

(2) 取直线l 上的任意一点(，y )，其在M 作用下变换成对应点(′，y ′)，则

??????－2－7－13－20??????x y ＝??????－2x －7y －13x －20y ＝????

??x ′y ′， 即???x ′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ，

代入11′－3y ′－68＝0，得－y －4＝0，

即直线l 的方程为－y －4＝0.

自测反馈

1. 解析：由题意得旋转变换矩阵M ＝??????cos90°－sin90°sin90°cos90°

＝??????0－110， 设P (0，y 0)为曲线y 2＝上的任意一点，变换后变为另一点(，y )，则??????x y ＝??????0－110????

??x 0y 0，

8 即???x ＝－y 0，y ＝x 0

，所以???x 0＝y ，y 0＝－x . 又因为点P (0，y 0)在曲线y 2＝上，

所以y 20＝0，故(－)2＝y ，

即y ＝2为所求的曲线方程．

2. 解析：设曲线C ：2＋y 2＝1上的任意一点P(，y)，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 1(1，

y 1)，则

??????

a 00

b ???

???

x y ＝??????x 1y 1，即???ax ＝x 1，

by ＝y 1.

又点P 1(1，y 1)在曲线C ′：x 24＋y 2＝1上，

所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1.

又曲线C 的方程为2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1.

因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.

3. 解析：设P(，y)为直线l 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l ′上的点P ′(′，y ′)，则??????x ′y ′＝??????0112??????x y ，化简，得???x ＝－2x

′＋y ′，

y ＝x ′，

代入a －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)′＋ay ′＝0.

将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.