【课件】高等数学下册 同济大学出版社 经管类第2版 第八章第二节

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第二节 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分

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一、利用直角坐标计算二重积分由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) D: a ≤ x ≤b

y

y = 2 (x)

D

o a y = (x) b x 1 2 ( x) b f (x, y) dy 则 ∫∫ f (x, y) dx dy = ∫ d x ∫ 1 ( x) D a y x =ψ2 ( y) ψ 1( y) ≤ x ≤ψ2 ( y) d 若D为Y –型区域 D : y c≤ y≤d x =ψ1( y) c ψ 2 ( y) d 则 x ∫c d y∫ψ ( y) f (x, y) dx o1

x

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变号时, 变号 当被积函数 f (x, y)在D上变号 由于

f (x, y) + f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) = 2 2

f1(x, y)

f2 (x, y) 均非负

因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .

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说明: 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 若积分区域既是X 型区域又是Y 则有

∫∫Db a d

f (x, y) dx dy 2 ( x)1

y

d

y = 2 (x) x =ψ2 ( y)

= ∫ d x ∫ ( x) f (x, y) dy = ∫ d y∫c

x =ψ1( y)

ψ 2 ( y)

ψ 1 ( y) y)

f (x, y) dx

D y y = 1(x) c x o a bx

为计算方便,可选择积分序 必要时还可以交换积分序 选择积分序, 交换积分序. 选择积分序 交换积分序 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则

D2D 1 D3

∫∫D = ∫∫D + ∫∫D + ∫∫D1 2

3

o

x

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例1. 计算 I = ∫∫ xydσ , 其中D 是直线 y=1, x=2, 及D

y=x 所围的闭区域.

1 ≤ y ≤ x 解法1. 解法 将D看作X–型区域, 则D : 1 ≤ x ≤ 2 y 2 x 2 2 y=x 1 xy2 ] x d x I = ∫ d x∫ xyd y = ∫ [ 2 y 1 1 1 1 1 2 1 x3 1 x ]dx = 9 =∫ [ 2 2 1 8 o 1 x 2x y≤x≤2 解法2. 解法 将D看作Y–型区域, 则 D : 1≤ y ≤ 2 2 2 2 2 1 y3 dy 9 1 x2 y ] 2 y = I = ∫ d y∫ xyd x = ∫ [ 2 d ∫ 2y 2 = 1 y 1 1 y 8

[

]

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例2. 计算 D xydσ , 其中D 是抛物线 ∫∫ 所围成的闭区域.

及直线

y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y

则

y2 ≤ x ≤ y + 2 D: 1 ≤ y ≤ 2∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫D

o 1

D

2

y+22

y = x 2

4 x

=∫

2 1 2 y+2 x y 2 dy 2 y 1

[

1

]

y

xy d x1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 y5 ] dy 2 1

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sin x 例3. 计算∫∫ dxdy, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y y=x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D x =π 因此取D 为X – 型域 : π x o 0 ≤ y ≤ x D: 0 ≤ x ≤ π π sin x x sin x ∴ ∫∫ dxdy = ∫ dx∫ dy D x 0 x 0= ∫ sin x dx0

π

=2

说明: 说明 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.

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例4. 交换下列积分顺序

I = ∫ dx∫0

2

x2 2 0

f (x, y)dy +∫

2 2

2

dx∫

8 x2

0

f (x, y)dyyx2 + y 2 = 8

解: 积分域由两部分组成:

0 ≤ y ≤ 1 x2 0 ≤ y ≤ 8 x2 2 , D2 : D : 2 1 y = 1 x2 0≤ x≤2 2≤ x≤2 2 2 D1 D2 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1 o

22 2 x

2 y ≤ x ≤ 8 y2 D: 0≤ y ≤2I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫D

2

8 y2 2y

0

f (x, y)dx

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例5. 计算

其中D 由2

y = 4 x2 , y = 3x , x = 1 所围成.解: 令 f (x, y) = x ln( y + 1+ y )

4y = 3x

yy = 4 x2

D = D1 + D2 (如图所示)显然, 在D 上, f ( x, y) = f (x, y) 1

D1o D2 1x =1

在D2上, f (x, y) = f (x, y)∴ I = ∫∫ x ln( y + 1+ y2 )dxdyD1

x

+ ∫∫

D2

x ln( y + 1+ y2 )dxdy = 0

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二、利用极坐标计算二重积分 y在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为

θ = θ k + θ k θ = θk

σ k (k = 1, 2,L, n)

o

r = rk x

σ k

则除包含边界点的小区域外,小区域的面积

σ k = 1 (rk + rk )2 θk 1 rk 2 θk 2 2 rk θk

= rk rk θk在 σ k 内取点(rk ,θk ), 对应有

θk

rk

rk

ξk = rk cosθk , ηk = rk sinθk

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= lim ∑ f ( rk cosθk , rk sinθk )rk rk θkλ→0 k =1

n

即

∫∫D f (x, y) dσ = ∫∫D f (r cosθ , r sinθ ) r dr dθrdθ dσ dr dθ r

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1(θ ) ≤ r ≤ 2 (θ ) 则 设 : D , α ≤θ ≤ β

r = 2 (θ ) D

∫∫D f (r cosθ , r sinθ )r d r dθ= ∫ dθ ∫ (θ ) α1

β

β

2 (θ )

o f (r cosθ , r sinθ )r d ro

α

r = 1(θ )

r = 2 (θ )

0 ≤ r ≤ (θ ) 特别, 特别 对 D : 0 ≤ θ ≤ 2π

β

α r = 1(θ )r = (θ )D

∫∫D f (r cosθ , r sinθ ) r d r dθ=∫2π 0

dθ ∫

(θ )

0

f (r cosθ , r sinθ ) r d r

o

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若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2π 2 σ= dσ = (θ ) dθ D 2 0

∫∫

∫

思考: 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 θ 的变化范围是什么? (1)

y

r = (θ )

(2) y

r = (θ )

D

D

o(2)

x

o x 答: (1) 0 ≤ θ ≤ π ;

π2

≤θ ≤

π2

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例6. 计算

其中D : x2 + y2 ≤ a2.

0≤r ≤a 故 解: 在极坐标系下D : , 0 ≤ θ ≤ 2π原式 =

∫∫D

r dr dθ = ∫ dθ ∫0 re0

2π

a

r 2

dr

= π (1 e由于 e x2

a 2

)

的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角

坐标计算.

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