3.1 二维随机变量

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第三章

二维随机变量及其分布

二维随机变量 二维离散型随机变量的分布律及性质 二维连续型随机变量及其概率密度 两个随机变量的函数的分布

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引

言

除一维随机变量外，我们往往还要同时考虑两个， 除一维随机变量外，我们往往还要同时考虑两个， 三个或更多随机变量构成的随机变量组， 三个或更多随机变量构成的随机变量组，它们的值 分别由两个，三个或更多个数来确定， 分别由两个，三个或更多个数来确定，这样的随机 变量分别叫做二维，三维或多维随机变量. 变量分别叫做二维，三维或多维随机变量. 例如：打靶时， 例如：打靶时， 弹着点就由两个 随机变量—— ——弹 随机变量——弹 着点的横坐标， 着点的横坐标， 纵坐标所构成。 纵坐标所构成。 例如： 例如：炼钢炼出每炉钢 的硬度，含碳量， 的硬度，含碳量，含硫 量,在一起组成了一个 三维随机变量 ( X , Y , Z ),

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§1

二维随机变量

定义一:设 X 1 = X 1 (e), X 2 = X 2 (e), , X n = X n (e) 是定义在 定义一: = {e} 上的随机变量，由它们构成的一个向量 上的随机变量， ( X 1 , X 2 , , X n ) 叫做 n 维随机向量或维随机变量. 简言之， 简言之，如果 n 维变量 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的取值是 随试验结果而确定的， 随试验结果而确定的，则称这个 n 维变量 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 n 维随机变量，相应地，称 维随机变量，相应地， ( X 1 , X 2 , , X n ) 的取值规律为 n 维分布. 维分布.

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定义二: 设 ( X , Y ) 是二维随机变量，对任意实数 定义二: 是二维随机变量， x, y, 称 F ( x, y ) = P{( X ≤ x) ∩ (Y ≤ y )} 简记为: 简记为: F ( x, y) = P{ X ≤ x, Y ≤ y} 为二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布函数， 的联合分布函数， 如果将二维随机变量 ( X , Y ) 看成是平面上随机点 的坐标，那么， 的坐标，那么，分布函数 F ( x, y) 在 ( X , Y ) 处的 落在如下图3 函数值就是随机点 ( X , Y ) 落在如下图3-1所示的 为顶点， 以 ( X , Y ) 为顶点，而位于该点左下方的无穷矩形 内的概率. 内的概率.

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由上定义，由图3 易得: 由上定义，由图3-2易得: P{x1 ≤ X ≤ x 2 , y1 ≤ Y ≤ y 2 } = F ( x , y ) - F ( x , y ) - F ( x , y ) + 1.1) ≥0 (1.1) 分布函数具有以下性质： 分布函数具有以下性质：2 2

2

1

1

2

F ( x1 , y1 )

性质1 F ( x, y ) 是变量 x, y 的不减函数，即对于固定 性质1 的不减函数， 的 y ,当 x2 > x1 时， ( x 2 , y ) ≥F ( x1 , y ),对于固定的 x , F 当 y 2> y1 时， ( x, y 2 )≥ F ( x, y1 ) . FF 性质2 ≤1,且对于固定的 =0, 性质2 0≤ F ( x, y ) ≤1,且对于固定的 y , ( ∞, y) =0, F (=0, x, ∞) F ( ∞, ∞) F (+∞,+∞) =0, 对于固定的 ， x

=0, =1.

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性质3 性质3

F ( x, y ) = F ( x + 0, y ), ( x, y ) = F ( x, y + 0) ,即 F ( x, y ) F 右连续， 也右连续. 关于 x 右连续，关于 y 也右连续.

同样， 同样，对 n 个实数 x1 , x 2 , , x n , n 元函数 F ( x1 , x2 , , xn ) = P{ X 1 ≤ x1 , X 2 ≤ x2 , , X n ≤ xn } 称为 维随机变量 ( X 1 , X 2 , , X n ) 的联合分布函数 n 或简称分布函数， 或简称分布函数，它也具有类似于二维随机变量 的分布函数的性质. 的分布函数的性质.

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例1

随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 x y F ( x, y ) = A( B + arctan )(C + arctan ) . 求系数 A ,B, C .2 3

解：

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0 解： 由分布函数的性质有 F ( x, ∞) =, F ( ∞, y ) = 0, ,有 x, y F (+∞, +∞) =从而对任意的 1 x π, π y A( B + arctan )(C ) = 0 A( B )(C + arctan ) = 0,

2

2

于是，有 B = 于是， 又 得A( B +

π2π2

2

3

,

C=

π2

π2

)(C +

) =1 将 ，

B C 的值代入， 、 的值代入，

A=

π2

.

1