3-4函数的单调性曲线的凹凸与拐点

第四节函数的单调性 曲线的凹凸与拐点y

y f ( x)A

B

f ( x ) 0

f ( x)oab

x

f ( x ) 0

y A

y f ( x)B

f ( x)oa

b x

定理3.4.1 设 y f ( x ) C [a , b]、 D(a , b),10 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递增 ; 若对 x (a , b), 有 2 0 . f ( x ) 0, 则 f ( x )在 [a , b]上递减 .

注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.y x3 , 例如,y 3 x 2 0,

y x 0 0,

y x 3 在( , )上单调增加 .y x3 ,

y

y f ( x)

y

o

显然y f ( x )单调上升当上升情况有明显的不 同x0 : 称为拐点

x0

x

o

x0

x

定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.

y

y f (x )A

B

f ( x ) 递增 y 0

f ( x)y f ( x)b

o

a

xB

y

f ( x ) 递减 y 0A

o

a

x

b

f ( x)

定理 设 f ( x ) C[a , b], 在 (a , b) 上具有二阶导数0

若对 x (a , b), 有 1 . f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上是凹弧；

20 . f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上是凸弧 .

曲线拐点的求法f ( x ) 0 的点和 f ( x )不存在的点，是拐点横坐标的 可疑点。 如果在 x 0 的左右两侧邻近 f ( x )变号，则 x 0 , f ( x 0 ) 是曲线的拐点； 如果在x 0 的左右两侧邻近, f ( x )不变号, 则 x 0 , f ( x 0 ) 不是拐点。y x3

0, y 6 x 0,

x 0 x 0

y x3

注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能

是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.例求曲线 y 3 x 的拐点. 2 3

yo 5 3

y 3 x

x

1 解 当x 0时, y x 3

4 , y x 9

,

x 0是不可导点, y , y 均不存在. 但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的; 在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的. 点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.

yy f ( x)单减 凹的极 小 值

凸的 单增

单增 拐 点

单减

极 大 值

拐 点

拐 点

极 拐 小 点 值

a

o

b

x

函数的作图需要研究函数的几何性态, 是 导数应用的综合考察.

3.4.1 函数的单调性的判断例1 讨论函数y e x x 1的单调性. 解 y e x 1. 又 D : ( , ).在( ,0)内, y 0,

函数单调减少；在(0, )内, y 0,

f ( x) e x 1

函数单调增加.

注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导 数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的 导数符号来判别一个区间上的单调性.

例2解

讨 论函 数 f ( x ) 3 x 2 的 单调 性 . D : ( , ).f ( x ) 2 33 x , ( x 0)y 3 x2

当x 0时, 导数不存在.当 x 0时， f ( x ) 0, 在( ,0]上单调减少； 当0 x 时，

f ( x ) 0, 在[0, )上单调增加；

3.4.2 单调区间求法定义:若函数在其定义域的某个区间

y 3 x2

内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点. 方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点来划分函数 f ( x )的定义区间, 然后判断区间内导 数的符号.

例3 确定 f ( x ) 2 x 9 x 12 x 33 2

的单调区间 .解 D : ( , ).f ( x ) 6 x 2 18 x 12 6( x 1)( x 2)解方程f ( x ) 0 得， x1 1, x2 2.

当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；

当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2, )上单调增加；单调区间为 ( ,1], [1,2], [2, ).

3.4.3利用函数的单调性证明不等式1 例4 试证：当x 1 时， x 3 . 2 x1 ? 证 设 f ( x) 2 x 3 f (1) 0 x 3 1 1 1 2 f ( x ) 2 2 ( x 1) x x xf ( x ) 在 [1, ) 上连续, 又对 x (1, ), f ( x ) 0

f ( x ) 在 [1, ) 上递增 .则对 x 1, 有 f ( x ) f (1). 1 即 f ( x ) 2 x 3 0 f (1) x

例5 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.证设f ( x ) x ln(1 x ),

1 x ( x ) 1 则f 1 x 1 x

f ( x ) C[0, ), 又 x (0, ), 有 f ( x ) 0

f ( x ) 在 [0, ) 上递增 当x 0时，f ( x ) f (0) 0

即 x ln(1 x ) 0

3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一 根证 设 f ( x ) x a sin x 1, 则 f ( x ) 在 ( , )内连续，

例6 证明方程 x a sin x 1 (0 a 1)在( , )内有且仅有一个实根

f ( x ) 1 a cos x 0, f ( x )在 ( , ) 内至多有一个实根

又f (0) 1 0, f ( ) 1 0, 又 f ( x ) 在[0, ]内连续，

f(x . 由零点定理， ) 0在区间(0 , )内至少有一个实根综 上 可 知 ， 方 程( x ) 0, 即 x a sin x 1 (0 a 1)在 f ( , )内 有 且 仅 有 一 个 实 根 .

曲线的拐点及其求法1、定义

连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.2、拐点的求法与极值点的判别类似， ( x ) 0 的点和 ff ( x )不存在 f ( x )不 的点 的点，是拐点横坐标的 可疑点。如果在x 0 的左右两 侧邻近 f ( x )变号，则 x 0 , f ( x 0 ) 是曲线的拐点；如 果在x 0 的左右两侧邻近 f ( x )不变号, 则 x 0 , f ( x 0 ) 不 , 是拐点。