2017-2018学年北师大版必修二 2. 1.1直线的倾斜角和斜率学案word

2017-2018学年北师大版必修二学案word版

§1直线与直线的方程

1.1 直线的倾斜角和斜率

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)

2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(重点)

[基础·初探]

教材整理1直线的确定及直线的倾斜角

阅读教材P61至P62“图2-5”前面部分，完成下列问题.

1.直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向.

2.直线的倾斜角：(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示.

(2)范围：0°≤α<180°.

如图2-1-1中标注的α表示直线l的倾斜角的是()

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图2-1-1

A.①

B.①②

C.①③

D.②④

【解析】 结合直线l 的倾斜角的概念可知①正确，选A. 【答案】 A

教材整理2 直线的斜率

阅读教材P 62“图2-5”以下至P 64“例1”以上部分，完成下列问题. 1.直线的斜率与斜率的计算公式： (1)直线的斜率：

直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝???

tan α，α≠90°

，不存在，α＝90°.

(2)经过两点的直线斜率的计算公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1

x 2－x 1.

2.斜率与倾斜角的关系：

已知A (a ,0)，B (2，3)，且k AB ＝3，求a .

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【解】k AB＝

3－0

2－a

＝3，解得a＝1，所以a的值为1.

[小组合作型]

轴正方向的夹角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()

A.α

B.180°－α

C.180°－α或90°－α

D.90°＋α或90°－α

【精彩点拨】由题意知直线l的上半部分可能在y轴的左侧或右侧，因此可借助图形解之.

【自主解答】如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

【答案】 D

求直线的倾斜角的方法及两点注意：

(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.

(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；

②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.

[再练一题]

1.设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个选项：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α，则

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直线l1的倾斜角可能的取值是()

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

【解析】当α≥45°时，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α，故选B.

【答案】 B

(1)AB的斜率k AB＝________；

(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为________.

【精彩点拨】利用直线的斜率公式求解.

【自主解答】(1)k AB＝－3－(－5)

2－4

＝

2

－2

＝－1.

(2)当m＝3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在.

当m≠3时，k＝－2－1

m－3

＝－

3

m－3

＝1，解得m＝0.

【答案】(1)－1(2)0

1.熟记斜率公式是解答本题的关键.

2.求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义.当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在.

[再练一题]

2.已知直线l经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R).

(1)求直线l的斜率；

(2)若直线l的倾斜角α为45°，求m的值.

【导学号：39292067】【解】(1)当m＝2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不

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存在.

当m≠2时，直线l的斜率k＝2－1

m－2

＝

1

m－2

.

(2)∵α＝45°，∴k＝tan α＝1，

∴

1

m－2

＝1，即m－2＝1，∴m＝3.

[探究共研型]

探究1若三点k的值. 【提示】∵A，B，C在同一条直线上，∴k AB＝k BC，

∴3－(－3)

4－2

＝

k－3

5－4

，解得k＝6.

探究2已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4,7)，试判断这三点是否共线？

【提示】∵k AB＝－1－(－3)

0－(－1)

＝2，k AC＝

7－(－3)

4－(－1)

＝2

∴k AB＝k AC.

∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线.

已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1).

(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. 【精彩点拨】(1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；

(2)可采用数形结合法来解.

【自主解答】(1)由斜率公式得

k AB＝

1－1

1－(－1)

＝0，k BC＝

3＋1－1

2－1

＝3，

k AC＝

3＋1－1

2－(－1)

＝

3

3.

∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；tan 60°＝3，∴BC的倾斜角为60°；

tan 30°＝

3

3，∴AC的倾斜角为30°.