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高等数学下册知识点 第七章 微分方程

一阶微分方程

一般地，如果一个一阶微分方程能写成：g(y)dy 解法：两边积分

齐次方程f(x,y) ()的解法——作u

f(x)dx

yxydydu代换，则y ux，于是 x u. xdxdx

一阶线性微分方程

方程

dy

P(x)y Q(x) dx

，称为齐次的；

若Q(x) 0

dy

P(x)y 0可分离变量的微分方程 dx

P(x)dx

求得其解y Ce

P(x)dx

，称为非齐次的，利用常数变易法，用u(x)代替C，即y u(x)e

若Q(x) 0于是，

P(x)dx P(x)dxP(x)dxdy

u'e ue [ P(x)] 代入得u Q(x)e dx C dx

y e

故

P(x)dx

P(x)dx ( Q(x)edx C)

可降阶的高阶

一、y

(n)

f(x)型——多次积分

二、y'' f(x,y')——令 y' p,特点 含有y'',y',x，不含y，则 y'' p'，于是可将其化成一阶微分方程。

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三、y'' f(y,y')——令 y' p, 特点 不显含x，则 y'' 方程。

dpdpdydp

，于是可将其化为一阶微分 p

dxdydxdy

高阶微分方程解的结构（7—6）定理2、3 二阶常系数线性微分方程（P334）

齐次：y'' py' qy 0，写特征方程r pr q 0，P335 非齐次（P342）：y'' py'qy f x()

，f(x)=Pm(x)e，

x

2

y* xkQm(x)e x（k=0,1,2）

第八章 空间解析几何与向量代数

利用坐标做向量的运算：设a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)，

则 a b (ax bx,ay by,az bz), a ( ax, ay, az)；

1） 向量的模：

r

x2 y2 z2

；

222

2） 两点间的距离公式：AB (x2 x1) (y2 y1) (z2 z1)

xyz, cos , cos 3） 方向余弦：cos rrr

cos2 cos2 cos2 1

Prja acos 4） 投影：，其中为向量a与u的夹角。

u

（一） 数量积，向量积

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1、

数量积：a b abcos

21）a a a

2）a b a b 0

a b axbx ayby azbz

2、 向量积：c a b

大小：absin ，方向：a,b,c符合右手规则

1）a a 0

2）a//b a

b 0

运算律：反交换律 b a a b

（二） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：2、 旋转曲面：

S:f(x,y,z) 0

yoz面上曲线C:f(y,z) 0，

绕

y轴旋转一周：f(y, x2 z2) 0

绕

z轴旋转一周：f( x y,z) 0

22

3、 柱面：

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F(x,y) 0表示母线平行于z

4、 二次曲面

F(x,y) 0

轴，准线为 的柱面

z 0

1）

x2y22

z椭圆锥面： a2b2

x2y2z2

2 2 1 2椭球面：abc

2）

x2y2z2

2 2 1 2旋转椭球面：aac

3）

x2y2z2

2 2 1 2单叶双曲面：abcxyz

2 2 1 2双叶双曲面：abc

2

2

2

4）

5）

x2y2

2 z 2椭圆抛物面：ab

6）

x2y2

2 z 2双曲抛物面（马鞍面）：abxy 122椭圆柱面： abx2y2

2 1 2双曲柱面：ab2x ay 抛物柱面：

2

2

7）

8）

9）

（三） 空间曲线及其方程

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1、

F(x,y,z) 0

一般方程：

G(x,y,z) 0

x x(t) x acost y y(t)2、 参数方程： ，如螺旋线： y asint z z(t) z bt

3、 空间曲线在坐标面上的投影

F(x,y,z) 0

，消去z G(x,y,z) 0

（四） 平面及其方程 1、 点法式方程：

H(x,y) 0

，得到曲线在面xoy上的投影

z 0

A(x x0) B(y y0) C(z z0) 0

法向量：n (A,B,C)，过点(x0,y0,z0)

2、 一般式方程：

Ax By Cz D 0

xyz

1

截距式方程：

abc

3、

两平面的夹角：n1 (A1,B1,C1)，n2 (A2,B2,C2)，

A1A2 B1B2 C1C2

A B C A B C

21

21

21

22

22

22

cos

1 2 A1A2 B1B2 C1C2 0 A1B1C1

1// 2

A2B2C2

4、 点

P0(x0,y0,z0)到平面Ax By Cz D 0的距离：

（五） 空间直线及其方程

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A1x B1y C1z D1 0

1、 一般式方程：

A2x B2y C2z D2 0

x x0y y0z z0

2、 对称式（点向式）方程：

mnp

s 方向向量： (m,n,p)，过点(x0,y0,z0)

x x0 mt

y y0 nt

3、 参数式方程：

z z0 pt

4、 两直线的夹角：s1 (m1,n1,p1)，s2 (m2,n2,p2)，

cos

m1m2 n1n2 p1p2m n p m n p

21

21

21

22

22

22

L1 L2 m1m2 n1n2 p1p2 0

m1n1p1

L1//L2

m2n2p2

sin

5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，

Am Bn Cp

A B C m n p

2

2

2

2

2

2

L// Am Bn Cp 0

ABC

L

mnp

第九章 多元函数微分法及其应用

1、 多元函数：z

f(x,y)，图形：

0,y0)

2、 极限：(x,y)lim (x

f(x,y) A

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3、 连续：(x,y)lim (x4、 偏导数：

0,y0)

f(x,y) f(x0,y0)

f( x0 x,y0) f( x0,y0)fx(x0,y0) lim x 0 x

f(x0,y0 y) f(x0,y0)fy(x0,y0) lim y 0 y

5、 方向导数：

f f f

cos cos l x y

6、

其中 ,

为

l

的方向角。

梯度：z f(x,y)，则gradf(x0,y0) fx(x0,y0)i fy(x0,y0)j。

7、

z zdx dy 全微分：设z f(x,y)，则dz x y

（一） 性质

1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

充分条件

2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法

1） 定义： 2） 复合函数求导：链式法则 若

ux

z

z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y)，则 y

z z u z v ，

y u y v y

z z u z v x u x v x

3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组） （二） 应用

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1、 极值

1） 无条件极值：求函数z

f(x,y)的极值

f 0 x 解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令 f 0 y

A fxx(x0,y0)，B fxy(x0,y0)，C fyy(x0,y0)，

① 若AC B若AC B

22

0，A 0，函数有极小值，

0，A 0，函数有极大值；

2

② 若AC B③ 若AC B

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