广西钦州市钦南区2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

广西省钦州市钦南区2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有

且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A {2,0,1,4}，集合B {x0 x 4,x R}，集合C A B．则集合C可表示为 A．{2,0,1,4}

B． {1,2,3,4}

C．{1,2,4} D． {x0 x 4,x R}

2.复数z满足z(1 i) 1（其中i为虚数单位），则z=

A．

11111111

i B． i C． i D． i

22 222222

1

2x

B．y x,x 0,1

3．下列函数中，为奇函数的是

A．y 2x

1,x 0

C．y x sinx D．y 0,x 0

1,x 0

4．下面几种推理中是演绎推理的为 ．．．．

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

1111,,, 的通项公式为an B．猜想数列(n N )；

n(n 1)1 22 33 4

2

C．半径为r圆的面积S r，则单位圆的面积S ；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x a)2 (y b)2 r2，推测空间直角坐标系中球

的方程为(x a)2 (y b)2 (z c)2 r25．已知f x 2x 1

2a

3a,若f 1 8,则f 1 x

A．4 B．5 C．-2 D．-3 6．“ 1”是“ 函数f(x) cos x在区间 0,π 上单调递减”的

3

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图1，在矩形OABC内：记抛物线y x 1 与直线y x 1围成的区域为M（图中阴影部分）． 则区域M面积与矩形OABC面积之比为 11A． B．

1812

2

1

1C．

11 D． 63

(x)>f(x)，则当a 0时，f(a)和eaf(0)大小关系

8. 已知可导函数f(x)(xÎR)满足f¢

为

A. f(a)<eaf(0) B. f(a)>eaf(0) C. f(a)=eaf(0) D. f(a)≤eaf(0) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9

．函数f(x) ．

10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2 的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几 何体的体积是 ．

2

2

2

2

11.已知双曲线C:

xyxy 1 1有相同的焦点，

与椭圆a2b294

且双曲线C的渐近线方程为y 2x，则双曲线C的方程为 ．

x y,

12. 设实数x,y满足 y 10 2x, 向量a (2x y,m)，b ( 1,1)．若a // b，则实数m的

x 1,

最大值为 ．

13.在数列 an 中，已知a2 4， a3 15，且数列 an n 是等比数列，则an ． 14. 已知f(n)=1+

f(2)

111

++鬃?(n?N+)，且23n

357

,f(4) 2,f(8) ,f(16) 3,f(32) ，推测当n≥2时，有222

__________________________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.（本小题满分12分）

已知函数f(x) sin(2x )(0 π)的图像经过点(（1）求 的值；

222

（2）在 ABC中， A、 B、 C所对的边分别为a、b、c，若a b c ab，

π

,1)． 12

且f(

Aπ．求sinB． )

21216.（本小题满分12分）

2

an 2an 2

已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn ，且an 0,n N .

2an

（1）求a1,a2,a3;

（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明

17．（本小题满分14分）

如图3所示，平面ABCD 平面BCEF，且四边形ABCD为 矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BC CE，

DC CE 4，BC BF 2． AF//平面CDE； （1）求证：

A

（2）求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．

18.（本小题满分14分）

C图3

B

已知数列 an 的前n项和为Sn，且满足4(n 1)(Sn 1) (n 2)2an(n N )． （1）求a1，a2的值； （2）求an； （3）设bn

3n 1

，数列 bn 的前n项和为Tn，求证：Tn ．

4an

19.（本小题满分14分）

x2y2

设双曲线C：2 2 1（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），

离心率e

ab

A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.

（1）求双曲线C的方程； （2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

20．（本小题满分14分）

设函数f(x)

131 a2

x x ax a(a 0). 32

（1）若函数f(x)在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围； （2）当a=1时，求函数f(x)在区间[t，t+3]上的最大值.

参考答案

8y22

1； 12．6； 9． {xx 2}； 10． ； 11．x

34

n 2nn 1

13．2 3 n； 14．f(2) ；

2

三、解答题

15．解：（1）由题意可得f(分

ππ

) 1，即sin( ) 1． 2126

0

π，

ππ7ππππ

， ， ． 666623

5分

222

（2） a b c ab，

a2 b2 c21

cosC ， 7

分

2ab2

． 8分 sinC π

由（1）知f(x) sin(2x )，

3Aπ

．

f(+) sin(A )

cosA

21222

A 0, ， sinA

， 10分 又 sinB sin(π (A C)) sin(A C)，

sinB sinAcosC cosAsinC

16． （1）

a1=

S1=

a1

+2

1

-a1

1

1． 12

分

2又

∵an>0，所以a1=

1

.

，所以，a1=

-1?

S2=a1 a2

a21

1， 所以

a22a2

a31

1 所以a3 2a3

1成立．

S3=a1 a2 a3

（2）猜想an=

证明： 1o当n=1时，由（1）知a1=

2o假设n=k(k?N+)时，ak=

ak+1=Sk 1 Sk (

ak 1a11

1) (k 1) 2ak 12ak

=

ak+11+-2ak+1

2

所以ak+1+k+1-2=0

ak+1=

所以当n=k+1时猜想也成立． nÎN+

都成立．

综上可知，猜想对一切

17．解：（法一）（1）取CE中点为G，连接DG、FG，

BF//CG 且BF CG，

四边形BFGC为平行四边形，则BC//FG 且BC FG． 2分

ABCD为矩形， BC//AD且BC AD，

四边形

FG//AD且FG AD，

四边形AFGD为平行四边形，则AF//DG．

DG 平面CDE，AF 平面CDE，

AF//平面CDE． 4分

（2）过点E作CB的平行线交BF的延长线

于P，连接FP，EP，AP，

A

EP//BC//AD，

A，P，E，D四点共面．

四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，

EP CD，EP CE，又 CD CE C，

EP 平面CDE， EP DE，

又 平面ADE 平面BCEF EP，