2017-2018学年高二数学人教A版选修4-5教师用书：第1讲

章末分层突破

①不等式的基本性质

②a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)

③算术­几何平均值不等式

④绝对值三角不等式

⑤|x －a |＋|x －b |≥c 型

进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考

查．考查形式多以选择题出现．

若a ，b 是任意实数，且a >b ，则( )

A ．a 2>b 2

B.a b

<1 C ．lg(a －b )>0 D.? ????12a <? ????12b 【规范解答】 a >b 并不能保证a ，b 均为正数，从而不能保证A ，B 成立．又a >b ?a

－b >0，但不能保证a －b >1，从而不能保证C 成立．显然D 成立．事实上，指数函数y ＝? ??

??12x 是减函数，所以a >b ?? ????12a <? ??

??12b 成立． 【答案】 D

1．若a ＞0，b ＞0，则下列与－b ＜1x

＜a 等价的是( ) A ．－1b

＜x ＜0或0＜x ＜1a B ．－1a ＜x ＜1b

C ．x ＜－1a

或x ＞1b D ．x ＜－1b 或x ＞1a

【解析】 －b ＜1x ＜a ，当x ＜0时，－bx ＞1＞ax ，解得x ＜－1b

； 当x ＞0时，－bx ＜1＜ax ，解得x ＞1a

.故应选D. 【答案】 D

(2)积为定值时，和有最小值．在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．

求函数y ＝x 2(1－5x )?

????0≤x ≤15的最大值． 【规范解答】 y ＝52x 2? ????25－2x ＝52·x ·x ·? ??

??25－2x ， ∵0≤x ≤15，

∴25

－2x ≥0， ∴y ≤52?????

???x ＋x ＋? ????25－2x 33＝4675. 当且仅当x ＝25－2x ，即x ＝215

时，上式取等号． 因此y max ＝4675

.

2．已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5

的最大值． 【解】 y ＝4x －2＋

14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ＝3－??????－4x ＋1－4x ≤3－2＝1. 所以函数y ＝4x －2＋14x －5

的最大值为1.

化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．

已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.

(1)求不等式f (x )≤6的解集；

(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．

【规范解答】 (1)原不等式等价于

?

???? x >32

，x ＋＋x －或?????

－12≤x ≤32，x ＋－x － 或????? x <－12，－x ＋－2x －，

解得32<x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x <－12

， 即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．

(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|

＝4，

∴|a －1|>4，解此不等式得a <－3或a >5.

3．若不等式|x －4|＋|3－x |＜a 的解集是空集，求a 的取值范围.

【导学号：32750025】

【解】 设y ＝|x －4|＋|3－x |，此题转化为求函数的最小值问题，若a 不大于函数的最小值则不等式的解集为空集．

y ＝|x －4|＋|x －3|＝????? －2x ＋7，x ＜3，1，3≤x ＜4，

2x －7，x ≥4.

∴可以看出最小值为1，

∴a ≤1时，不等式的解集为空集，

所以a 的取值范围a ≤1.

法．通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式简单的问题．在本章，我们讨论恒成立问题，向最值转化，通过不等式性质、基本不等式、绝对值不等式求最值等问题都用到了转化的思想．

已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m ，依据下列条件，分别求出m 的取值范围：

(1)若不等式有解；

(2)若不等式解集为R ；

(3)若不等式解集为?.

【规范解答】 由||x ＋2|－|x ＋3||

≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，

可得－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.

(1)若不等式有解，

则m ＜1，即m 的取值范围是(－∞，1)．

(2)若不等式解集为R ，则m ＜－1，

即m 的取值范围是(－∞，－1)．

(3)若不等式解集为?，则m ≥1，

即m 的取值范围是 4．解不等式????

??x 2－5x ＋4x 2－4≤1. 【解】 原不等式可以化为

|x 2－5x ＋4|≤|x 2－4|(x ≠±2)，

∴－(x 2－4)≤x 2－5x ＋4≤x 2－4， ①