2.3二次函数的性质

义务教育课程标准实验教科

浙江版《数学》九年级上册

一枚普通的炮弹，无风状态下在空中 怎样计算炮弹达到最高点时的高度？ 运动的路线是一条怎样的曲线？

函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线，

观察下列二次函数图像：顶点是抛物线上的最高点(或最低点) 顶点在图像的位置有什么特点？y=0.75x2+3x

y6 4 2 0 -4 -2 2 4

yy=-0.5x2-2x-1.52 0 -4 -2 -2 2

x

x

y=2x2-4x-64 8 y=- x2- x-6 9 3

问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？

你还能发现：这些函数是否存在最大值或 最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c (a≠0)中的那一个系数决定的吗？

y6 4 2 0 -4 -2

y=2x2-4x-6

a

x2 4

y=-0.5x2-2x-1.5

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向3.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴

y=ax2+bx+c(a>0)2 b 4 ac b 2a , 4a b 直线 x 2a

y=ax2+bx+c(a<0)2 b 4 ac b 2a , 4a b 直线 x 2a

位置 开口方向增减性 最值

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上当x 当x b 2a b 2a 时 时

向下当x 当x b 2a b 2a 时 时

,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增大.时 , 最小值为 4 ac b 4a2

,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.时 , 最大值为 4 ac b 4a2

当x

b 2a

当x

b 2a

例题探究例：已知函数y=-0.5x2-7x+7.5 (1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；

解：(1)∵a=-0.5,b=-7,c=7.5;

所以函数y=-0.5x2-7x+7.5的大致图像如图：

y(-7,32)

⑵自变量x在什么范围内时，y随x 的 增大而增大？何时y 随x的增大而减 小？并求出函数的最大值或最小值。解： ⑵由右图可知， 当x≤-7时， y随x 的增大而增大； 当x≥-7 时，y 随x的增大而减小；

30

20

10(0,7.5) (-15,0) (1,0)

-20 -15 -10 -5 O -10

x

5

10

当x=-7时，函数有最大值32。

(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?(4)根据图象，说 出 x 取哪些值时， ① y=0; ② y<0;

x=-7

③ y>0.

当x=-15或x=1时

当x<-15或x > 1时

当-15<x<1时

已知函数y=x2-3x-4. ⑴求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对 称轴，并画出函数的大致图像； ⑵记当x1=3.5,x2= - 2,x3= 2 时对应的函数值分别 为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?yx=1.5

解：∵ y=x2-3x-4 =(x-1.5)2-6.25,∴图象顶点坐标为(1.5, -6.25); 又当y=0时， 得x2-3x-4=0的解为： x1=-1,x2=4。 则与x轴的交点为(-1,0)和(4,0) 与y轴

的交点为(0, -4)(- 2,y2)(-1,0)

xO(4,0)

(3.5,y1)(0, -4)

⑵如右图可知:( 2,y3)

y2> y1 > y3

(1.5, -6.25)

课内练习1、求下列函数的最大值(或最小值)和对应的 自变量的值：⑴ y=2x2-8x+1; ⑵ y=-3x2-5x+1

2、二次函数y=x2+bx+9的图象顶点在y轴上， x 那么b等于多少？

想一想方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴交点的坐标有什么关系？ 如果二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴的两个交点的 坐标为 ( x1,0 )和( x2 ,0)

那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根 方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解就是 函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的

横坐标。

可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x轴交点的 存在性与

方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的

解是否存在有关。

归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c=0 (a≠0)解的存 在性又与什么有关呢？ b2 -4ac的正负性有关。故而： ①当b2 -4ac >0 时，抛物线与x轴有 ②当b2 -4ac ③当b2 -4ac

两个

交点； 交点；

=0 时，抛物线与x轴只有 一个 <0 时，抛物线与x轴 没有

交点。

1、抛物线与x轴的交点的个数：⑴ y=2X2-X-12个

⑵ y=4X2+4X+11个

⑶ y=3X2+2X+50个

b2- 4ac﹥0

b2- 4ac=0

b2- 4ac<0

2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为( D )

(A)0个

(B)1个

(C)2个

(D)3个

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则

y

a__0,b__0,c__0b - 4ac___02

o

x

2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( D ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个y

0

-1

1

x

1、抛物线y=ax2+bx (a≠0)的顶点在第二象限， 则a__0,b__0.

2、二次函数y=ax2+bx ,当a>0,b<0时，它 的图象经过____________象限。

已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零， 求m的取值范围.

大家应该很好的利用二次 函数图像给我们的启迪， 来解决诸多问题！