【配套K12】[学习](广东专版)2019高考数学二轮复习 第二部分 专

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精品K12教育教学资料 满分示范课——立体几何

【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ­ABCD 中，侧面PAD 为等边三

角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12

AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.

(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；

(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ­ABCD 的体积．

[规范解答](1)在平面ABCD 中，

因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°.

所以BC ∥AD ，1分

又BC ?平面PAD ，AD ?平面PAD .

所以直线BC ∥平面PAD .3分

(2)解：如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，

由AB ＝BC ＝12

AD 及BC ∥AD ， ∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .

因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，7分

因为CM ?底面ABCD ，所以PM ⊥CM .8分

设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ，

如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，

所以PN ＝142

x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142

x ＝27， 解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.10分

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精品K12教育教学资料 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.

所以四棱锥P ­ABCD 的体积V ＝13×2（2＋4）2

×23＝4 3.12分 高考状元满分心得

1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的BC ∥AD ，第(2)问中CM ⊥AD ，PM ⊥CM ，PN ＝142

x 等． 2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程中，证明CM ⊥AD 时，利用第(1)问证明的结果BC ∥AD .

3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC ?平面PAD ，AD ?平面PAD 两个条件，否则不能得全分，在第(2)问中，证明PM ⊥平面ABCD 时，一定写全三个条件，如平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PM ⊥AD 一定要有，否则要扣分，再如第(2)问中，一定要分别求出BC ，AD 及PM ，再计算几何体的体积．

[解题程序] 第一步：根据平面几何性质，证BC ∥AD .

第二步：由线面平行判定定理，证线BC ∥平面PAD .

第三步：判定四边形ABCM 为正方形，得CM ⊥AD .

第四步：证明直线PM ⊥底面ABCD .

第五步：利用面积求边BC ，并计算相关量．

第六步：计算四棱锥P ­ABCD 的体积．

[跟踪训练]

1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O

为AC 的中点．

(1)证明：PO ⊥平面ABC ；

(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．

(1)证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，

所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.

连接OB .因为AB ＝BC ＝22

AC ，

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精品K12教育教学资料 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12

AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2

，知OP ⊥OB .

又OP ⊥AC ，且OB ∩AC ＝O ，

所以PO ⊥平面ABC .

(2)解：如图，作CH ⊥OM ，垂足为H

.

又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM .

故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．

由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423

， ∠ACB ＝45°.

所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455

. 所以点C 到平面POM 的距离为455

. 2.(2018·潍坊模拟)如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CC 1＝4，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，点M 是棱AA 1上不同于

A ，A 1的动点．

(1)证明：BC ⊥B 1M ；

(2)若∠CMB 1＝90°，判断点M 的位置并求出此时平面MB 1C 把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．

(1)证明：在△ABC 中，因为AB 2＋BC 2＝8＝AC 2， 所以∠ABC ＝90°，所以BC ⊥AB ，

又因为BC ⊥BB 1，BB 1∩AB ＝B ，

所以BC ⊥平面ABB 1A 1又B 1M ?平面ABB 1A 1，

所以BC ⊥B 1M .

(2)解：当∠CMB 1＝90°时，设AM ＝t (0＜t ＜4)，

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精品K12教育教学资料 所以A 1M ＝4－t ，

则在Rt △MAC 中，CM 2＝t 2

＋8，

同理得B 1M 2＝(4－t )2＋4，B 1C 2＝16＋4＝20，

据B 1C 2＝MB 21＋MC 2，所以t 2＋8＋(4－t )2＋4＝20，

整理得，t 2－4t ＋4＝0，所以t ＝2，

故M 为AA 1的中点．

此时平面MB 1C 把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥C ­ABB 1M 和四棱锥B 1­A 1MCC 1. 由(1)知四棱锥C ­ABB 1M 的高为BC ＝2， S 梯形ABB 1M ＝2＋42

×2＝6， 所以V 锥C ­ABB 1M ＝13

×6×2＝4， 又V 柱＝12

×2×2×4＝8， 所以V 锥B 1­A 1MCC 1＝8－4＝4，

故两部分几何体的体积之比为1∶1.