2004年高考试题全国卷2理科数学及答案(必修+选修Ⅱ四川吉林黑龙

2004年高考试题全国卷2

理科数学（必修＋选修Ⅱ）

(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四

个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

（1）已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，则集合M∩N＝（A）{x|x＜－2　　　　（B）{x|x＞3}　　　　　

（C）{x|－1＜x＜2　　　（D）{x|2＜x＜3

（2）＝

（A）　　　　　　　　（B）1　　　　　　　

（C）　　　　　　　　（D）

（3）设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝

（A）–ω　　　　　　　（B）ω2　　　　　

（C）　　　　　　　（D）

（4）已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（A）(x＋1)2＋y2＝1　　　（B）x2＋y2＝1　　　

（C）x2＋(y＋1)2＝1　　　（D）x2＋(y－1)2＝1

（5）已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(,0)，则φ可以是

（A）－　　　　　（B）　　　　　　（C）－　　　　　（D）（6）函数y＝－e x的图象

（A）与y＝e x的图象关于y轴对称　　　　（B）与y＝e x的图象关于坐标原点对称

（C）与y＝e－x的图象关于y轴对称　　　（D）与y＝e－x的图象关于坐标原点对称

（7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为

（A）　　　　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　（D）

（8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有

（A）1条　　　　　　　（B）2条　　　　　　　（C）3

条　　　　　　（D）4条

（9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别

是O1和A1，则＝，其中＝

（A）　　　　　　　（B）－　　　　　　　（C）2　　　　　　（D）－2

（10）函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间内是增函数

（A）(，)　　　（B）(，2)　　（C）(，)　　　（D）(2，3)（11）函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为

（A）　　　　　　　　（B）　　　　　　　　

（C）　　　　　　（D）2

（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

（A）56个　　　　　（B）57个　　　　　（C）58

个　　　　　　（D）60个

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为

ξ012

P

（14）设x，y满足约束条件

则z＝3x＋2y的最大值是．

（15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是．

（16）下面是关于四棱柱的四个命题：

①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱

④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱

其中，真命题的编号是　　　(写出所有真命题的编号)．

3、 解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤．

（17） (本小题满分12分)

已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝．

(Ⅰ)求证：tan A＝2tan B；

(Ⅱ)设AB＝3，求AB边上的高．

（18）(本小题满分12分)

已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．求

(Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；

(Ⅱ)A组中至少有两个弱队的概率．

（19）(本小题满分12分)

数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1＝1，a n＋1＝S n（n＝1，2，3，…）．证明：

(Ⅰ)数列{}是等比数列；

(Ⅱ)S n＋1＝4a n．

（20）(本小题满分12分) ．

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90o，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点

为M．

(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDM；

(Ⅱ)求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．

（21）(本小题满分12分)

给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于

A、B两点．

(Ⅰ)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

(Ⅱ)设＝，若∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

(22)(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，g(x)＝x ln x．

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0＜a＜b，证明：0＜g(a)＋g(b)－2g()＜(b－a)ln2．

2004年高考试题全国卷2

理科数学（必修＋选修Ⅱ）

(四川、吉林、黑龙江、云南等地区)

答案：

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）x2＋y2＝1 （16）②④17．(I)证明：∵sin(A+B)=,sin(A-B)=

∴，∴.

(II)解：∵<A+B<π, , ∴,

即,将代入上式并整理得

解得,因为B为锐角，所以,∴ =2+

设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+

故AB边上的高为2+

18．(I)解：有一组恰有两支弱队的概率

(II)解：A组中至少有两支弱队的概率

19．（I）证：由a1=1,a n+1=S n(n=1,2,3，…)，

知a2=S1=3a1,, ,∴

又a n+1=S n+1-S n(n=1,2,3，…),则S n+1-S n=S n(n=1,2,3，…)，

∴nS n+1=2(n+1)S n, (n=1,2,3，…).故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列

（II）解：由（I）知，，于是S n+1=4(n+1)·=4a n(n)

又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n≥1都有S n+1=4a n.

20．解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，

∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，

又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，

∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，

又BB1=1，∴A1B=2，

∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1

又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM，

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM

(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，

则FG∥CD，FG=CD

∴FG=，FG⊥BD.

由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，

所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，

∴∠B1GF是所求二面角的平面角

又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.

∴cos∠B1GF=

即所求二面角的大小为π-arccos

解法二：如图以C为原点建立坐标系

(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,),

M(,1,0),(,,),(,-1,-1),

(0,,-),

∴CD⊥A1B,CD⊥DM.

因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，

所以CD⊥平面BDM

(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,,)，∴，∴BD⊥B1G，又

CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角，

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