大连理工大学《矩阵与数值分析》2008年真题

大连理工大学试卷

课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2008年1 月11 日 试卷共 4 页

填空题请写在题签上，其余的题写在答题纸上 一、填空（每一空2分，共46分）

装

1 A2 0

2

1

1．设A A1

0 1 ，则A0

A的奇异值

，

A

2

A1

。

2．给定3个求积节点：x0 0，x1 0.5和x2 1，则用复化梯形公式计算积分 e

01

x

2

dx

求得的近似值为 ，

订

用Simpson公式求得的近似值为 。

2．设函数s(x) S3 1,0,1 ，若当x 1时，满足s(x) 0，则其可表示

为 。

4．已知f(0) 0,f(1) 6,f(2) 12,则f[0,1] f[0,1,2] ，逼近f(x)的Newton插值多项式为 。

5．用于求f(x) x sinx 0的根x 0的具有平方收敛的Newton迭代公式为： 。

0

6．已知A -1

0

000

0 1 ，则A的Jordan标准型是 ； 0

线

2 2

7．取f(x) Ax2，其中A 1

1 1 x1 3 22

，x ,则 1 R R x 2

0

df(x)dx

8．求解一阶常微分方程初值问题u (t) (t2 1)u t，u(t

) u0

的向后（隐式）

Euler 9．设a 211.00112为x的近似值，且x a 0.5 10 2，则a至少有

10．将x 3,4 T，化为y 5,0 T的Householder

11．

k 0

0.5

1 0 0

k

12．用二分法求方程f(x) 2x3 5x 1 0在区间[1,3]内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。

13．写出如下二阶常微分方程两点边值问题的差分格式为：

（化成最简分量形式）。

du(x)dx

22

du(x)dx

，0 x 1，u(0) 0，u(1) 0

110

10

1

其中xi ih，i 0,1, ,10，h

14．设A

1 1 2

。

2

则在Schur分解A URU ， 1

H

R可取为中，

0

15．设A 0

1 0

，则e

At

de

At

dt

。

二、（8分）根据下列表格给出的数据，求其形如s(x) a bx的最小二乘拟合曲线。

三、（12分）设线性方程组：

x1

3x1 2x 1

3x2 x2 x2

4 4 4x3 7

（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出det(A)；

（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？

（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。

四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题u (t) f(t,u)，

u(t0) u0的数值方法

un 2

12un 1

12un

h8

3fn 2 8fn 1 fn

（1） 求出其局部截断误差主项，并指出此方法的完整名称； （2） 证明其收敛性；（3）求出其绝对稳定区间。

五、（14分）

（1） 用Schimidt正交化方法，构造[ 1,1]上以 (x) 1权函数的正交

多项式系： 0(x)， 1(x)， 2

(x);

（2）设f(x)在[ 1,1]上具有二阶连续导数，用1）中所得到的 2(x)的

零点x0,x1为插值节点构造f(x)的Largrange插值多项式L1(x)，并给出余项估计式；

（3）设要计算积分 f(x)dx, 以L1(x)代替f(x)，求出相应的数值求

1

1

积公式，并求出其代数精度；

（4） 利用3)的结果给出 f(x)dx的数值求积公式。

02

六、证明题（5分）

设A,B Cn n均为可逆矩阵，且齐次线性方程组 A B x 0有非零解，证明：对于Cn n中的任何矩阵范数，都有A 1B 1。