全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc

感谢你的观看

感谢你的观看 2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1．已知2=+b a ，4)1()1(2

2-=-+-a

b b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．2

1. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）

A ．5.

B ．6.

C ．7.

D ．8.

3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ）

A ．5组.

B ．7组.

C ．9组.

D ．11组.

5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，

?=∠60DAB ，?=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）

A ．21+.

B ．6.

C ．132-.

D ．31+.

6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则z

y x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．2

5. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15?．

2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．

3．能使2562+n 是完全平方数的正整数n 的值为 11 ．

4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作

圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．

C

E

F B

A

感谢你的观看

感谢你的观看 第二试 （A ）

一、（本题满分20分）

已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02

=++c bx x 有一个相同

的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．

解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④． 设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则???=++=++,

0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11． 设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则???=++=++,

0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c b a x 。 所以 121=x x ．

又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则01222=++ax x 。

又 0222=++a x x ，两式相减，得 1)1(2-=-a x a ．

若1=a ，则方程①无实根，所以1≠a ，故12=x ．

于是 1,2-=+-=c b a ．又3=+-c b a ，解得 3,2b c =-=．

二．（本题满分25分）

如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，90ABC ∠=?，120BCD ∠=?，对角线BD AC ,交

于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）?=∠30PBD ；（2）DC AD =．

证明 （1）由已知得 90ADC ∠=?，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心．

作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12

BPD ∠＝60A ∠=?，从而?=∠30PBM ．

（2）作BP SN ⊥于点N ，则12

SN SB =． 又BD MB DM SB DS 2

1,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=2

1232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ?=∠=∠30NPS MPS ，

又PB PA =，所以1152

PAB NPS ∠=∠=?，故DCA DAC ∠=?=∠45，所以DC AD =．

C A

感谢你的观看

感谢你的观看

三．（本题满分25分）

已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若?=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．

（1）证明：3+=+p n m ；

（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．

解 （1）因为?=∠90ACB ，AB OC ⊥，所以2OC OB OA =?，即2p mn =．

由)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++，得)(3222p n m p n m ++=++．

又)(2)(2222mp np mn p n m p n m ++-++=++)(2)(2

2mp np p p n m ++-++= )(2)(2p n m p p n m ++-++=))((p n m p n m -+++=，

从而有3=-+p n m ，即3+=+p n m ．

（2）由2

p mn =，3+=+p n m 知n m ,是关于x 的一元二次方程 0)3(22=++-p x p x ①

的两个不相等的正整数根，从而04)]3([2

2>-+-=?p p ，解得31<<-p 。

又p 为正整数，故1=p 或2=p ．

当1=p 时，方程①为0142=+-x x ，没有整数解．

当2=p 时，方程①为0452=+-x x ，两根为4,1==n m ．

综合知：2,4,1===p n m ．

设图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式为)4)(1(-+=x x k y ，将点)2,0(C 的坐标代入得 )4(12-??=k ，解得2

1-=k ． 所以，图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式为22

321)4)(1(212++-=-+-=x x x x y ．

感谢你的观看

感谢你的观看

第二试 （B ）

一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.

二．（本题满分25分）

如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=?，90ABC ∠=?，

120BCD ∠=?，

对角线BD AC ,交于点S ，且DS =2SB ．求证：DC AD =． 证明 由已知得 90ADC ∠=?，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径．

设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．

作BD PM ⊥于点M ，则M 为BD 的中点,所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=?，从而?=∠30PBM ．

作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =．又BD MB DM SB DS 2

1,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=2

1232， ∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴?=∠=∠30NPS MPS ，

又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=?，所以DCA DAC ∠=?=∠45，所以DC AD =． 三．（本题满分25分）

已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若?=∠90ACB ，且2OA ＋2OB ＋2OC ＝3(OA ＋OB ＋OC ）．求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．

解 因为?=∠90ACB ，AB OC ⊥，所以 2OC OB OA =?，即2p mn =．

由)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++，得)(3222p n m p n m ++=++．

又)(2)(2222mp np mn p n m p n m ++-++=++)(2)(2

2mp np p p n m ++-++= )(2)(2p n m p p n m ++-++=))((p n m p n m -+++=，

从而有3=-+p n m ，即3+=+p n m ．

又2

p mn =，故n m ,是关于x 的一元二次方程 0)3(22=++-p x p x ①

的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22>-+-=?p p ，解得31<<-p 。

又p 为正整数，故1=p 或2=p ．

C A

感谢你的观看

感谢你的观看 当1=p 时，方程①为0142

=+-x x ，没有整数解 …… 此处隐藏：3005字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……