拉普拉斯变换公式

拉普拉斯变换公式

附录A拉普拉斯变换及反变换

1.表A-1拉氏变换的基本性质1

线性定理

齐次性叠加性

L[af(t)] aF(s)

L[f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s)

df(t)

] sF(s) f(0)dtd2f(t)L[] s2F(s) sf(0) f （0）2

dt L[

2微分定理

一般形式

dnf(t)L snF(s) n

dt

dk 1f(t)(k 1)

f(t)

dtk 1

s

k 1

n

n k

f

(k 1)

(0)

初始条件为0时

dnf(t)nL[] sF(s)n

dt

L[ f(t)dt]

2

F(s)[f(t)dt]t 0

ss

一般形式

3

积分定理

2

F(s)[f(t)dt]t 0[f(t)(dt)]t 0

L[ f(t)(dt)] 2

ss2s

共n个

n

F(s)1n

L[ f(t)(dt)] n n k 1[ f(t)(dt)n]t 0

sk 1s共n个

初始条件为0时

45678

延迟定理（或称t域平移定理）衰减定理（或称s域平移定理）终值定理初值定理卷积定理

F(s)

L[ f(t)(dt)n] n

s

共n个

L[f(t T)1(t T)] e TsF(s)

L[f(t)e at] F(s a)

limf(t) limsF(s)

t

s 0

limf(t) limsF(s)

t 0

s

L[ f1(t )f2( )d ] L[ f1(t)f2(t )d ] F1(s)F2(s)

tt

419

拉普拉斯变换公式

2．表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表序号

拉氏变换E(s)

1

时间函数e(t)

δ(t)

Z变换E(z)

1

zz 1

123456789101112131415

11 e Ts

1s

T(t) (t nT)

n 0

1(t)t

t22

zz 1

1s2

1s3

Tz(z 1)2

T2z(z 1)2(z 1)3

1sn 1

1s a

tnn!( 1)n nzlim()a 0n! anz e aT

z

z e aT

e atte

at

1(s a)2as(s a)

Tze aT(z e aT)2

(1 e aT)z(z 1)(z e aT)

1 e

at

b a(s a)(s b)

e at e bt

sin t

zz

z e aTz e bT

zsin T

z2 2zcos T 1

z(z cos T)z 2zcos T 1

2

s2 2

ss2 2

cos t

(s a)2 2

s a(s a)2 2

1

s (1/T)lna

ee

at

sin tcos t

at/T

ze aTsin T

z2 2ze aTcos T e 2aT

z2 ze aTcos Tz2 2ze aTcos T e 2aT

zz a

at

420

拉普拉斯变换公式

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

F(s)

A(s)ansn an 1sn 1 a1s a0

（n m）

式中系数a0,a1,...,an 1,an，b0,b1, bm 1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。①

A(s) 0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

n

cicncc1c2

F(s) i

s s1s s2s sis sni 1s si

（F-1）

式中，s1,s2, ,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算：

ci lim(s si)F(s)

s si

（F-2）

或

ci

B(s)

A (s)s s

（F-3）

i

式中，A (s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

n nci st

f(t) L F(s) L ＝ cie

i 1s si i 1

1

1

i

(F-4)

2

A(s) 0有重根

设A(s) 0有r重根s1，F(s)可写为

F s

B(s)

(s s1)r(s sr 1) (s sn)

=

cicncrcr 1c1cr 1

(s s1)r(s s1)r 1(s s1)s sr 1s sis sn

式中，s1为F(s)的r重根，sr 1，…,sn为F(s)的n-r个单根；

421

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其中，cr 1，…,cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr 1，…,c1则按下式计算：

cr lim(s s1)rF(s)

s s1

cr 1 lim

s s1

d

[(s s1)rF(s)]ds

cr j

1d(j)

lim(j)(s s1)rF(s)j!s s1ds

(F-5)

1d(r 1)

c1 lim(r 1)(s s1)rF(s)

(r 1)!s s1ds

原函数f(t)为

f(t) L 1 F(s)

crcicn cr 1c1cr 1

L 1 rr 1

(s s)s ss ss s(s s)(s s)1r 1in 11

n

cr 1r 2 cr str 1

t t c2t c1 e ciest

(r 2)!i r 1 (r 1)!

1

i

（F-6）

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