第二章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

数字信号处理

第二章 z变换和DTFT

数字信号处理

本章主要内容：1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换

3、z变换的基本性质和定理4、离散信号的DTFT

5、z变换与DTFT的关系6、离散系统的z变换法描述

数字信号处理

§2.1 z变换的定义及收敛域信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 ——变换域分析方法 连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT

数字信号处理

一、ZT的定义

X ( z)

n

x ( n) z

n

x(n) X ( z ), z : ( 1 , 2 )z 是复变量，所在的复平面称为z平面

数字信号处理

二、ZT的收敛域 对于任意给定序列x(n),使其z变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 级数收敛的充要条件是满足绝对可和

n

x(n) z

n

M

数字信号处理

1)有限长序列

x(n ) n1 n n2 x(n) 其它n 0其Z变换：X ( z ) x(n ) zn n1 n2 n

j Im[ z ] Re[ z ]

Roc至少为： 0 z

0

数字信号处理

除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况 有关外，整个z 平面均收敛。

X ( z) x(n1 ) z0

n1

x(n1 1) z 1

( n1 1)

x( 1) z ( n2 1)

1 n2

x(0) z x(1) z x(n2 1) z 如果n2≤0 ,则收敛域不包括∞点

x(n2 ) z

n1 0, n2 0 时， 0 z 如果n1≥0 ,则收敛域不包括0点

n1 0, n2 0 时， 0 z 如果n1<0<n2,收敛域不包括0 、∞点

n1 0, n2 0 时， 0 z

数字信号处理

2)右边序列

x(n ) n n1 x(n) n n1 0 当n1 0时，Roc : Rx z 当n1 0时，Roc : Rx z 因果序列的z变换必在∞处收敛 在∞处收敛的z变换， 其序列必为因果序列0j Im[ z ]

Rx

Re[ z ]

n1 0包括z 处

数字信号处理

3)左边序列

n n2 0 x(n) x(n ) n n2 当n2 0时，Roc : 0 z Rx 当n2 0时，Roc : 0 z Rx 0Rx j Im[ z ]

Re[ z ]

n2 0

数字信号处理

4)双边序列n为任意值时皆有值

其z变换：X ( z )

n

x(n) z

1

n

x(n ) zn 0

n

前式Roc: 0 z Rx 后式Roc: Rx z

j Im[ z ]

Rx

Re[ z ]Rx

当Rx Rx 时，Roc :

0

当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx

数字信号处理

例1

[n] 1,0 z ZT

δ [ n ]zn

n

1

收敛域应是整个z的闭平面

数字信号处理

例2:求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z n n n

1 z = z 1 1 z n 0N 1 n

n N

n1 n2 1 q q n q 1 q n n1 n2

z 1 N 1 z ( z 1)N

n2 时须满足 q 1j Im[ z ]

零点：z e r 1,..., N 1 极点：z 0 (N 1)阶

2 r j N

0

Re[ z ]

Roc : 0 z

数字信号处理

例3:

求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域解：X(z)= x(n ) z = a u(n ) z = a z n n n n n 1

n n

n 0

1 1 1 az

当 az

1时

j Im[ z ]

Roc :

z a0

a

Re[ z ]

零点：z 0 极点：z a

数字信号处理

例4:求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域

解：X(z)= x(n ) z = a u( n 1) z n n

n

= a z = a zn n n 1 n 1

n

n

当 a z 1时j Im[ z ]

1

n n

a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1

a0

Roc :

z a

Re[ z ]

零点：z 0

极点：z a

数字信号处理

例5:求x(n)=a|n|,a为实数，求ZT及其收敛域

解：X(z)= x(n ) z = a z = a z a z n n n n n n n n n 0

1

n n

= a z a zn n n 1 n 0

n n

az a z 1 az n 1n n

az 1 z 1/ aaz 1

a zn 0

n n

1 1 az 1

1 z a

数字信号处理

当 a 1时，无公共收敛域，X( z )不存在az 1 z (1 a ) 当 a 1时，X ( z ) 1 1 az 1 az (1 az )( z a )2

Roc : a < z 1/ a零点：z 0, 极点：z a, a 1

j Im[ z ]

0

a

Re[ z ] 1/ a