高数1_2行列式展开定理与Cramer法则

高数1_2行列式展开定理与Cramer法则

行列式按行( 第四节 行列式按行(列)展开一,余子式与代数余子式 定义1 定义 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n1阶行列式,称为D中元素aij 的余子式,记作Mij. 令Aij=(1)i+jMij,Aij称为元素aij的代数余子式. 例如,求4阶行列式中a32的代数余子式

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

a11 a13 a14 M32= a21 a23 a24 a41 a43 a44

A32=(1)3+2M32 =M32首页 上页 返回 下页 结束

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行列式按行( 第四节 行列式按行(列)展开一,余子式与代数余子式 定义1 定义 在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n1阶行列式,称为D中元素aij 的余子式,记作Mij. 令Aij=(1)i+jMij,Aij称为元素aij的代数余子式. 再如,求4阶行列式中a13的代数余子式

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

a21 a22 a24 M13= a31 a32 a34 a41 a42 a44

A13=(1)1+3M13 =M13首页 上页 返回 下页 结束

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二,展开定理 定理1 定理一个n阶行列式D,如果其第i行(或第j列)的元素除aij外

都为0,则行列式D等于aij与它的代数余子式的乘积,即D= aijAij

定理2 定理 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即

D=ai1Ai1 +ai2Ai2 + + ainAin (i=1, 2, , n), D=a1jA1j +a2jA2j + + a A (j=1, 2, , n).nj nj首页 上页 返回 下页 结束

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二,展开定理 定理3 定理 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即

ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =0 (i ≠ j), a1iA1j+a2iA2j+ + ani Anj =0 (i ≠ j). 综合 ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =D (i=j) ai1Aj1+ ai2Aj2+ + ainAjn =0 (i ≠ j),

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三,利用展开定理计算行列式 例1.分别按第一行与第二列展开行列式 . 1 0 2 D= 1 1 3 2 3 1 解:按第一行展开 D =a11A11 +a12A12 +a13A13 =1×(1)1+1 1 3 +0×(1)1+2 1 3 +(2) ×(1)1+3 1 1 3 1 2 1 2 3 =1×(8)+0+(2)×5 =18.

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例1.分别按第一行与第二列展开行列式 . 1 0 2 D= 1 1 3 2 3 1 解:按第一行展开 D =a11A11 +a12A12 +a1nA1n =1×(8)+0+(2)×5 =18.按第二列展开

D =a12A12 +a22A22 +a32A32 1 3 +1 ×(1)2+2 1 2 +3 ×(1)3+2 1 2 2 1 1 3 2 1 =0+1×(3)+3×(1)×5 =315 =18 . =0 ×(1)1+2首页 上页 返回 下页 结束

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例2.计算行列式 .

1 2 3 4 1 0 1 2 D= 3 1 1 0 1 2 0 5 1 4 1 2 1 0 2 5 6 0 2 1 1 2 9 0 1

解:将某行(列)化为一个非零元后展开 1 2 3 4 7 0 1 0 1 2 r1 + 2r3 1 0 D= 3 1 1 0 r4 + 2r3 3 1 1 2 0 5 7 0 7 1 4 r1 r2 =(1)(1)3+2 1 1 2 7 2 5 r3 + 2r2 2+2 6 2 =618 =24. =1×(1) 9 1首页 上页 返回

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2 1 L 11 1 1 1 2 L L L L 1 1

1 2 L 11 2 1 L 1 1 2 L

1 1 2 L 1L L L

L L L L L1 1 1 2

1 1 1 L 2

例3. 计算行列式 D n = 1 1

解:

1 2 Dn = 1 1 L L

1 0 1 + 0 L 0 2

L L

L L

1 1 1 L

1 1 L

1 0 = 0 L 0

1 3 0 L 0

1 2 3 L 0

L L L L L

1 2 2 + D n 1 = 3 n 1 + D n 1 L 3

= 3n1 + 3n2 + L + 32 + D2 = (3n 1

, ( D2=5 )

+3

n 2

+ L + 3 + 3) + 22

3 3 n 1 1 3n + 1 = + 2 = 2 2下页 结束

(

)

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例4. 证明范得蒙(Vandermonde)行列式1 1 1 a a a 1 2 3 a2 a2 a2 1 2 3 L L L an 1 an 1 an 1 1 2 31 0 Dn = 0 L 0 1 a a1 2 2 a a a 1 2 2 L n a n 1 a1 a 2 2 2

L L

1 a n (a a ) L a2 = ∏ i j n 1≤ j < i ≤ n L L L an 1 nL L L L L 1 a a1 n 2 a a a 1 n n L n a n 1 a1 a n 2 n

证明:从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍,得1 a a1 3 2 a a a 1 3 3 L n a n 1 a1 a 3 2 3

= ( a 2 a1 )( a 3 a1 ) L ( a n a1 )

1 a 2 a2 2 L an 2 2

1 a 3 a2 3 L an 2 3

L L L L L

1 a n a2 n L an 2 n

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Dn = (a2 a1 )(a3 a1 )L(an a1 )Dn1= (a2 a1)(a3 a1) L(an a1) (a3 a2 )(a4 a2 )L(an a2 )Dn2依次类推得 , D2 =

1

1

an1 an

= an an1

于是 Dn = (a2 a1)(a3 a1 ) L(an a1 )

(a3 a2 )(a4 a2 )L(an a2 ) …… (an an1 )= (a a ) ∏ i j 1≤ j < i ≤ n

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例如, 例如 n = 4 时

D4=

1 a1 a a2 1 3 1

1 a2 a a2 2 3 2

1 a3 a a2 3 3 3

1 a4 a a2 4 3 4

=

(a a ) ∏ i j 1≤ j < i ≤ 4

= (a2 a1 )(a3 a1 )(a4 a1 ).( a3 a2 )(a4 a2 ).( a4 a3 )

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第五节 克莱姆法则克莱姆法则 含有n个未知量n个方程的线性方程组

a 11 x 1 + a 12 x 2 + L + a 1 n x n = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b 2 LLLL a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = b n 当其系数行列式 D =a11 a 21 M a n1 a12 L a 22 L M an 2 L a1n a2 n M a nn ≠0 时

有且仅有一个解 x

j

=

Dj D

, j=1,2,…,n

其中,Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,…,bn所 得到的n阶行列式(j=1,2,…,n).首页 上页 返回 下页 结束

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适用条件⑴ 未知数的个数 = 方程的个数; ⑵ 系数行列式D≠0.

例1.

解线性方程组

x1 x2 + 2 x4 = 5, 3x1 + 2 x2 x3 2 x4 = 6, 4 x1 + 3 x2 x3 x4 = 0, 2 x1 x3 = 0.1 1 0 2 3 2 1 2 4 2 3 0 1 1 1 0上页

解: 方程组的系数行列式D= =5≠0

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解: 方程组的系数行列式1 1 D= 3 4 2 2 3 0 0 2 =5≠0 1 2 1 1 1 0

故方程组有唯一解.

而

D1 =

5 1 0 2 6 2 1 2 0 0 3 0 1 1 1 0

= 10,

1 5 0 2 3 6 1 2 D2 = = 15 4 0 1 1 2 0 1 0

D3 =

1 1 5 …… 此处隐藏：2961字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……