第5.1节 矩阵的特征值

第5.1节 矩阵的特征值 与特征向量

主要内容: 一、方阵的特征值与特征向量 二、特征向量的性质 三、小结 思考与练习

问题的引入:从前面的学习我们了解到 ,一个矩阵乘以一 个非零向量,相当于将此向量做一些平移、旋转 、伸缩、推移之后的结果。因此，我们想知道 是否能找到一个向量，经过相同的平移、旋转 、伸缩、推移之后，仍保持原来的方向？在本 章中我们将寻找此种向量，并探讨其所具有的 性质。 由一个矩阵A乘以一个向量 x 后，所得到 的向量仍保持原来的方向，表示存在一个数 使得Ax x 。对于此特殊的向量和这个数， 我们给出如下之定义。3

一. 方阵的特征值与特征向量(Eigenvectors and Eigenvalues) 1. 特征值与特征向量的定义定义1: 设

A 是 n 阶方阵， 若数 和 n 维非零列向量 x,使得 Ax x 成立，则称 是方阵 A的一个特征值， x 为方阵 A 的对应于特征值 的一个特征向量。(2) 特征向量 x 是非零列向量4

注： (1) A 是方阵

2. 特征向量的几何意义：特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线 上 ,这时或者方向不变( 0 0) 或者方向相反 ( 0 0) , 至于 ( 0 0) 时，特征向量就被线性变换变成 0.Ax2

1 2 , 2 2x1

x1

A x1x

x25

注: (1)特征值与特征向量在物理、力学、工程技术中有 着广泛的应用。如：机械、结构或电磁振动中的固有值 问题；物理学中的各种临界值问题 ; 方阵的对角化及解 微分方程组的问题等。这些问题中特征值的计算往往意 义重大。(2)如果 A 是一个不可逆的方阵,则线性方程组 Ax 0

有非零解,

即 Ax 0 0 0 x 0

故不可逆方阵必有零特征值 0 0 . (3)一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算Ax , A 2 x , ..., A k x , ....

由特征值和特征向量的关系

Ax x

可以化简这些运算.6

3. 特征值与特征向量的求法

Ax x A E x 0 或 E A x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解 aij

A E 0 或 E A 0定义2: An n

n n

,

数 a 12 a n2 a 1n a 2n

a 11

f ( ) E A a 21 a n1

a 22

a nn7

是关于 的一个多项式，称为矩阵

A 的特征多项式。

记 f ( ) E A

a 11 a 21 a n1

a 12 a n2

a 1n a 2n

a 22

a nn

n b1 n 1 bn 1 bn

方程 f E A 0 称为A的特征方程.8

定理1: 设 n 阶方阵 A aij 则

的 n 个特征值为 , , , 1 2

n

1)

1+ 2

+ + n a11 a22 ann aii tr ( A)i 1 n

称为矩阵A的迹。(主对角元素之和)

2)

i 1

n

i

1 2 n= A9

证明： 一方面

f ( ) E A

a 11 a 21 a n1

a 12 a n2

a 1n a 2n

a 22

a nn

n (a11 a 22 a nn ) n 1 ( 1) n | A |另一方面, 当 i , i 1 ,2 , n是A的特征值时，

f ( ) E A ( - 1 )( 2 ) ( n )

n ( 1 2 n ) n 1 ( 1) n 1 2 n由多项式相等,系数相等,即(1)得证.10

求A的特征值与特征向量的步骤:(1) 求出A 的特征多项式 f ( ) E A ;( 2) 解 特 征 方 程f ( ) E A 0, 求 出 A的 全 部 特征值 1 , , n .其 中f ( )的r重 根 对 应 A的r个 数 相同的特征值 .

( 3) 求 ( i E A) x 0 或 ( A - i E ) x 0 的非零解，得到 A的 关 于 i的全部 特征向量 .

1 1 0 例1: 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和全部特征向量. 1 0 2 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.

A E

1 4

1 3 0

0 0 2 0

1 2 2 1 0

特征值为 1 2, 2 3 1第二步：对每个特征值

代入齐次线性方程组12

A E x 0, 求非零解。

当 1 2 时， 齐次线性方程组为 A 2 E x 0系数矩阵

3 1 0 1 0 0 A 2 E 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 自由未知量: x 3 0 x1 x2 0 令 x3 1 得基础解系: p1 0 1 k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于 1 2 的全部特征向量。13

当

齐次线性方程组为 2 3 1 时，

A E x 0

1 0 1 2 1 0 A E 4 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 1 x1 x3 x2 2 x3得基础解系

1 P 2 2 , 1

k2 p2 ( k2 0 常数)是对应于 2 3 1 的全部特征向量。

T 证明： A 与A有相同的特征值。 例2:

证明: 因为n阶矩阵的特征值由它的特征多项式

唯一决定.而T

E A T ( E A) T E A

即A与A 有相同的特征多项式， 从而特征值相同。

例3: 若 A 的特征值是 , x 是 A 的对应于 的特征向量，则

(1) kA 的特征值是 k . ( k 是任意常数)(2) Am 的特征值是 m . ( m 是正整数) (3) 若 A 可逆，则 A 1 的特征值是 1 . 1 A 的特征值是 A .且

x 仍然是矩阵 kA, Am , A 1 , A 分别对应于 k ,

, ,m 1

1

A 的特征向量。