高数常微分基本概念

第六 微章方分程已 y′= f(x , )y 求—积分问 题知推

已 广含 y 及 若 阶 数方 ,y求 其 干 知导 的 程 微—方程问题分

第一

节 分方程的微本概基念几何问题 例 物引问理

题第章六

微分程方的基概念

本动

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束

引例.1 例 一曲线引过通点(,21 ,)在曲线上任该点处的 切线斜率为意2 x 求,该曲的方程 . 线: 解所求曲设方线为程 y =(x) , 则有如下y系关式

dy:= 2 x dx yx=1 = 2由得

① ② ①C为(任意数)常

由 得 ② C= , 因1此所求线曲方程为 y= x2 1.+机

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的度行驶速 制,时动 例引2 引. 例列在平直路上以车 得获加速度 求制动列车的后运动规律.解 :列设在车动后 制 秒t行了s 米驶, 即 s 求 s =()t . 已知s t = =00 ,由前一式次两分,积 得 s可 =02t. + tC + 2 C 利用1后两式得2可因此所求运规律为动s =0.2 t 2 + 20 t

说明: 明说 利这一规律用求可出动后多少制间时车才 列停能 ,住以 及动制行驶后了多路少程 .机动目 录上 下页页 返回结

束分方微的程本基概含念知函数及其导未的方程叫数微做方程 . 微分分方程分类 微常分方程 (本内章) 容微分偏程方方程 所含中知函未数数的最导阶数叫做微高分程 的阶.方 阶般地 ,一n 阶微分方常程形的是式′,,L y(n ) = ) 0Fx(, , yy或

(ny)= fx,( y,y′ L, y,n ()1 ()n 阶式显微分方程)

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束果如n微阶方程分具形有为式

:y() n+ 1(a ) xy(n1 )+L+ an1( )x y + 'n(a x y =) f( x )a f x 其中. i ()x 和 x()是都 已的知函数则称该微分方程为n线性阶微方程。分则，否就 称非线为性微分方。程

微分方程解的 —方使程成恒等为的式数. 解 函通解— 中所解含独立任的常数意的个与数方程的阶 数相同. 特 解— 不含任意常数解的, 图形称为其积曲线分 积.曲分.线积 分线 初曲条始 —件确 定解中通意常数的任件条. n 方阶程的始条件初(或初条件值: 初始条)件 初始(件条 初或条件值d) yd

′ y(x0 )x= y0 ,y ′(x )0= y , 0 Lyn(1 )(x )0 y=(0n 1 )=,2x d2s 引例1 通: 解特:解y x=1= 2 y x2= + C 2 = x y1+引2例

t 2d

= 04.d s dtt =

s0t = 0 = 02,= 2

s = 002t +.C t + 2 1C 2s = 0 2t + 2.0t动 目机录上页 下页返回 结束

例. 1验证函 是微分数方程(C1C2, 为)数 常的解 并,满求足始条初

d件 x 0 的特=解 x . =t0 =A d, t t =0

:解

= k 2( Csin k +tC2 oc sk t)1 这说明 = xCco skt+ C2 si n kt是方 程解 .的 1是两个立独的任意常数 故,它是程方通解. 利的初用条件易始: 故得求所特解为x= Aoc sk t机动 录 目页上下 页返回 结束例

. 2知已线上点 P曲x( ,y 处)法的线 x与轴交 点为Q 且段 PQ线 y被轴

平分 求,满所足的分方程 . 微解:如图 示所,点 P x(, ) 处y法的线程为方

令 Y=0 , 得 点的Q坐标横即 y′y +2x= 0 思 与练习考P2 63( 习题2-1) 11 ;2(3), 4)(;

yP Qoxx

3( 2; 4)( )2(,) ;36 第二节 目 录页上 下页 回 返结