【数学】2.2.1《圆的标准方程》课件(北师版必修2)

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让我们一起来欣赏如 下几幅风景画，我们能 发现什么几何图形？

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如 设 何 此 写 圆 出 的 此 半 圆 径 的 为 方 程米 ？,

r

a

Y

P(x,y)

A (-r,0)

O 0

一、建立适当的 直角坐标系，如 右图所示：以圆 B (r,0) X 心O为原点。二、取圆上任意一点 P(x,y),则：OP=r即：

( x 0) ( y 0) r2 2

所以此圆的方程为：

即：x 2 y 2 r 2

a

求：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点， yP

根据定义，点M到圆心C的 距离等于r,由两点间的距离公 式，点M适合的条件可表示为：(x-a)2+

rC x

(y-b)

2

=r

O 说明：

把上式两边平方得：

(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

特点：明确给出了圆心坐标 和半径。

a

于是我们得到：方程

x a y b 2

2

r r 0 2

叫做以(ɑ,b)为圆心， r为半径的 圆的标准方程。

如果圆的方程为： 若圆心为(0,0)时，此方程变为：

x y r2 2

2

r 0

此圆的圆心在原点(0,0),

半径为r。

a

例题讲解 1、求圆心为(2,-1),半径为3的圆 的方程。

解：以圆的标准方程有： 2、求圆心为(2,-3),且过原点的圆 2 2 2 C的方程。 所求圆的方程为： x 2 y 1 3 解：因为圆C过原点，故圆C的半径r 2 3 132 2

因此，所求圆C的方程为： 2 2 x 2 y 3 13

a

练习：1、写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 (2) 经过点P(5,1),圆心在C(8,-3)5 (x-3)2+(y-4)2=5 (x-8)2+(y+3)2=25

补充练习：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2(1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

a

1、求以点C(2,1)为圆心，并且与 Y轴相切的圆的方程。 解：依图知：圆C的半径 Y 为2,则所求圆的标准方 2 2 程： 2 y 1 4 x

问：若此圆C的圆心为(2,1),且与X轴相切，它的 方程是什么？?0

C(2,1) C(2,1)

X

x 2

2

y 1 12

X

a

4 6 9 3 B(6、3) 则a 5, b 6. 0 2 2 X AB (6 4) 2 ( 5) ) y 2 )2 设圆的方程为 x 3 29 2( 610 r 2 , 把点B(6,3)代入得r 2 . (

解: 设AB的中点为(a, b)

练习:已知两点A(4,9),B(6,3),求以 AB为直径的圆的方程. Y

A(4、9)

故所求圆的方程为 x 5) ( y 6) 10 (2 2

a

2、已知点A(-4,-1),B(6,-1), 求以线段AB为直径的圆的方程。 (分析：线段AB为直径，则圆心为线段 AB的中点，半径为线段AB的一半。) 解：以中点坐标公式有：圆心坐标 为(1,-1),又以两点距离公式 有：AB 6 4 2 1 1 2 10 所以圆的半径为5 2 2 故圆的方程为： x 1 y 1 25

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下列方程

分别表示什么 图形 ? (1) x 2 y 2 0; (3) y 1 x 2 (2)(x 1) 2 8 ( y 2) 2 (4) x 1 y 2

a

1 2 5 2 圆( x ) ( y 1) 关于直线 y x对称的圆的方程是什么 ? 2 4

1 2 5 ( x 1) ( y ) 2 42

a

练习4:已知圆的方程是x2+y2=1,求：(1)斜率等于1的切线的方程； 解：设切线方程为 y=x+b ,由圆心到切线的距离

等于半径1,得：|b| 12+(-1)2 所以切线方程为：y = x± 2

=1 解得b=± 2

(2)在y轴上截距是 2 的切线方程。y = ± x+ 2

a

已知圆的方程是 2 y 2 r 2 , 求经过圆上一点 x 例2 M ( x0 , y0 )的切线方程 .

y 解: 如图, 设切线方程为 y0 k ( x x0 )半径OM的斜率为kOM y0 x0 ,

x0 因OM垂直于圆的切线 所以k , y0 x0 切线方程为y y0 ( x x0 ) y0

YM ( x0 , y0 )

整理得, x0 x y0 y x y2 0

2 0

0

x y r ,2 0 2 0 2

X

所求圆的切线方程为 0 x y0 y r x

2