1.3 线段的垂直平分线(第1课时)

线段的垂直平分线郓城县南赵楼乡初级中学

1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理 和判定定理；能够运用这两个定理解决一些 问题 2.能够证明线段垂直平分线的性质和判定定理； 3.通过探索、猜测、证明的过程进一步拓展学 生的推理证明意识和能力

教学重点：线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

教学难点：线段垂直平分线的性质定理及判定定理的证明。

复习巩固

线段垂直平分线上的点有什么性质

命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

如何把这个命题改写成如果、、、、、、那么、、、、、、

的形式。 如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到 这条线段两个端点的距离相等。 已知:如图, 直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC ,P是MN上任意一点.

求证:PA=PB.

已知:如图, 直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC ,

P是MN上任意一点.求证:PA=PB. 证明：∵MN⊥AB,MP

∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC,PC=PC,A N C B

∴△PCA≌△PCB(SAS);∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).

【结论】性质定理:线段垂直平分线上的点到

这条线段的两端点的距离相等. P在线段AB的垂直平分线上 PA PBA

P

∟

B

性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等. 你能写出这个定理的逆命题吗？原命题：如果一个点是线段垂直平分线上的点，那 么这个点到这条线段两个端点的距离相等。 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.

逆命题：到一条线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上.已知：线段AB,点P是平面内一点且PA=PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上. 证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC ∴∠PCA=∠PCB =90°, ∵PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC, 即P点在AB的垂直平分线上. AP

C

B

P

证法二： 取AB的中点C,过点P、C作直线PCA C ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等) 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=90°,即PC⊥AB ∴P点在AB的垂直平分线上.

B

证法三：

过P点作∠APB的角平分线交AB于点C.∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). A ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB, 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=90°, ∴P点在线段AB的垂直平分线上.

P

C

B

【结论】到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 判定定理： 线段的垂直平分线上. M P ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一 条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上). A CN

B

例题讲解例1.已知：如图，在△ABC中， AB=A C,O是△ABC内一

点，且 OB=OC 求证：直线AO垂直平分线段 BC. ∵ AB=A C ∴点A在线段BC的垂直平分线 上(到线段两端距离相等的点，在线段的垂 直平分线上) 同理，点O在线段BC的垂 直平分线上 ∴直线AO是线段BC的垂直平 分线(两点确定一条直线)

1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点,

求证：∠ECF = ∠EDF

2.如图，A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的 河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离

相等，码头应建在什么位置?A

C

B

码头应建在线段AB的垂直平分线上一点.

达标测试1、(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,

∠BAC=120 ° ,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC60° 于点F,连接AF,则，∠AFC的度数——.

2.(10分)如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直

平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于 50, 23 A 则BC的长——.D E B C