高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版

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第70讲 二阶矩阵与平面图形的变换 第71讲 量 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向

(理科) 理科)

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第十五单元

矩阵与变换

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│知识框架 知识框架

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│考试说明 考试说明1. 了解二阶矩阵的概念 ， 了解线性变换与二阶矩阵 . 了解二阶矩阵的概念， 之间的关系. 之间的关系. 2. 了解旋转变换 、 反射变换 、 伸缩变换 、 投影变换 、 . 了解旋转变换、 反射变换、 伸缩变换、投影变换、 切变变换这五种变换的概念与矩阵表示. 切变变换这五种变换的概念与矩阵表示. 3. 了解变换和矩阵相等的概念 ， 了解矩阵与向量的 . 了解变换和矩阵相等的概念， 乘积表示线性变换. 乘积表示线性变换. 4.了解线性变换的基本性质. .了解线性变换的基本性质.

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│考试说明

5.了解复合变换的意义. .了解复合变换的意义. 6. 了解矩阵与矩阵相乘的意义 ， 了解矩阵的乘法表 . 了解矩阵与矩阵相乘的意义， 示复合变换及矩阵乘法的性质. 示复合变换及矩阵乘法的性质.

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│命题趋势

命题趋势1. 本部分是新课标新增内容 ， 知识点相对较独立 ， . 本部分是新课标新增内容，知识点相对较独立， 与其他章节知识联系较少，试题难度较低， 与其他章节知识联系较少，试题难度较低，以中低档题为 主. 2. 预测 年高考的重点是矩阵与变换的关系， . 预测2011年高考的重点是矩阵与变换的关系 ， 矩 年高考的重点是矩阵与变换的关系 阵的乘法运算及其性质，可逆矩阵、 阵的乘法运算及其性质，可逆矩阵、矩阵的特征向量和特 征值及应用可逆矩阵解方程组. 征值及应用可逆矩阵解方程组.

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│使用建议 使用建议本单元内容是选修4- 矩阵与变换 矩阵与变换， 本单元内容是选修 -2矩阵与变换，共2讲，第1讲二 讲 讲二 阶矩阵与平面图形的变换， 讲逆变换与逆矩阵、 阶矩阵与平面图形的变换 ， 第 2讲逆变换与逆矩阵、 矩阵 讲逆变换与逆矩阵 的特征向量，这部分内容主要和高等数学联系紧密， 的特征向量，这部分内容主要和高等数学联系紧密，与中 学数学内容联系不大，需要一个适应过程， 学数学内容联系不大，需要一个适应过程，在复习过程中 应注意： 应注意： 1.高度重视书本基础知识 . 本课时所考内容，与其他知识联系甚少，难度较低， 本课时所考内容，与其他知识联系甚少，难度较低， 主要考查矩阵的运算、矩阵的线性变换、逆矩阵、 主要考查矩阵的运算、矩阵的线性变换、逆矩阵、特征值 及特征向量. 及特征向量.理科

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│使用建议

2.加强矩阵与实际的联系 . 引入矩

阵的目的， 使我们解决实际问题更加有效， 引入矩阵的目的 ， 使我们解决实际问题更加有效 ， 所以要重视矩阵在平面图形的变换和解方程组中的应 用. 本单元课时安排共3课时 课时： 本单元课时安排共 课时： 课时) 第70讲 二阶矩阵与平面图形的变换 课时 讲 二阶矩阵与平面图形的变换(1课时 课时) 第71讲 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量 课时 讲 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量(1课时 45分钟单元能力训练卷 十五 课时 分钟单元能力训练卷(十五 课时) 分钟单元能力训练卷 十五)(1课时

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│二阶矩阵与平面图形的变换

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│知识梳理

知识梳理1.二阶矩阵的定义 . (1)由 4 个数 a,b,c,d 由 ，,, 矩阵. 矩阵. (2)元素全为 0 元素全为 1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c

b 称为二阶 d

0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0

0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1

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│知识梳理2.几种特殊线性变换 . (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是 cosα 对应的二阶矩阵为 sinα

x′=xcosα-ysinα - = y′=xsinα+ycosα + =

.

-sinα . cosα

(2)反射变换 反射变换 平面上任意一点 P 对应到它关于直线 l 的对称点 P 的线性 的反射. 变换叫做关于直线 l 的反射.

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│知识梳理(3)伸压变换 伸压变换 在直角坐标系 xOy 内将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍， 为非零常数， 纵坐标变为原来的 k2 倍，其中 k1,k2 为非零常数，这样的几 何变换为伸压变换. 何变换为伸压变换. (4)投影变换 投影变换 是平面内一条给定的直线， 设 l 是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点 P 作 的垂线， 直线 l 的垂线，垂足为点 P′,则称点 P′为点 P 在直线 l 上的投 ， 为点 ， 影.将平面上每一点 P 对应到它在直线上的投影 P′,这个变 的投影变换. 换称为关于直线 l 的投影变换.

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│知识梳理(5)切变变换 切变变换 平行于 x 轴的切变变换对应的二阶矩阵为 行于 y 轴的切变变换对应的二阶矩阵为 1 k

1 0

k 1

,平

0 1

.

3.变换矩阵的相等 . (1)设 σ, 是同一直角坐标平面内的两个线性变换， ρ 设 ， 是同一直角坐标平面内的两个线性变换， 如果对 = 平面内的任意一点 P,都有 σ(P)=ρ(P) ,则称这两个线性变换 ， 相等. 相等. (2)对于两个二阶矩阵 A 与 B,如果它们的 对应元素 都分 对于两个二阶矩阵

, 别相等， 相等， 别相等，则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A=B. = 4.矩阵与向量的乘法 .理科

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│知识梳理 a A= = c x b = ,a= y ,规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d

设

ax+by + 向量 ,记为 cx+dy +

Aa

a 或 c

b x , d y

即 法.

a Aa= = c

a b x b x ax+by + = ,这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx+dy c d +

5.线性变换的基本性质 . 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α,β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， , 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)=λAα. =理科

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│知识梳理Aα+Aβ 。 + ②A(α+β)= + = 二阶矩阵对应的变换(线性变换 性质 2.二阶矩阵对应的变换 线性变换 把平面上的直线变 二阶矩阵对应的变换 线性变换)把平面上的直线变 直线(或一点 或一点) 。 直线 或一点 成 定理： 是一个二阶矩阵， , 定理：设 A 是一个二阶矩阵，α,β 是平面上的任意两个向 是任意两个实数， 量，λ1,λ2 是任意两个实数，则 A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ. + = + 6.二阶矩阵的乘法 .(1)设 设 a1 A= = c1 a2 b2 b1 ,B= = d1 c2 d2