2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座五_抛物线与几何问题

2011年全国各地中考试题压轴题精选讲座五

抛物线与几何问题

【知识纵横】

抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：y ax2 bx c(a≠0)；2、顶点式：y =a(x—h) 2-＋

k；3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。

解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。

【典型例题】

【例1】（浙江宁波）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－2，2）,点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连结OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

（1） （2）

求点E的坐标； 求抛物线的函数解析式；

（3） 点F为线段OB上的一个动

点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标； （4） 连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点

B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

【思路点拨】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，即可求E点坐标。（2）列方程

11 组求a、b的值。（3）依题意，设N x , x2 x ，求出△BON面积关于x的函数表达式，用二

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次函数的最值原理，可求N点的坐标。（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标。

【例2】（天津）已知抛物线C1：y1 (Ⅰ) 求抛物线C1的顶点坐标；

(Ⅱ) ①若抛物线C1与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：

12

x x 1．点F(1，1)． 2

11

2 AFBF

②抛物线C1上任意一点P（xP，yP）)（0 xP 1）．连接PF．并延长交抛物线C1于点Q（xQ，yQ），试判断

11

2是否成立？请说明理由； PFQF

(Ⅲ) 将抛物线C1作适当的平移．得抛物线C2：y2 (x h)2，若2 x m时．y2 x恒成立，求m的最大值．

【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为y a x m n的形式即可。 (II) ①求出AF和BF即可证明。②应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。(Ⅲ) 应用图象平移和抛物线的性质来证明。

【例3】（浙江省）如图，在直角坐标系中，抛物线y ax2 bx c a 0 与x轴交与点A（－1,0）、B（3,0）两点，抛物线交y轴于点C（0,3），点D为抛物线的顶点．直线y x 1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q． (1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少？

(3)设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．

【思路点拨】（1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。（2）把线

段PQ用含P(x, x－1) ，Q (x, x2 2x 3)来表示，用二次函数的最值原理可求。

2

1

2

【例4】（四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线

y ax2 bx c(a 0)）经过A、B、C三点．

（1）求此抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为错误！未找到引用源。？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1） 由已知设OA t(t 0)，根据题意求t的值。（2）设E点坐标为(x，x2 4x 5)，抛物线对称轴为x=2，根据EH EF，列方程求解。（3）利用直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标。

①若含

45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一 个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式；

②若含30．角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．

2、（浙江衢州）已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K，如图所示．

（1）求点C

的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l1，抛物线，直线l2和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

3、（广西桂林）已知二次函数y x2

1

43

x错误！未找到引用源。的图象如图． 2

（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．

4、（山东日照）如图，抛物线y ax2 bx a>0 与双曲线y

k

相交于点A，B．已知点B的x

坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX错误！未找到引用源。4．过点A作直线

AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

5、（湖北黄冈）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=源。交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）． （1）求b的值． （2）求x1 x2的值．

（3）分别过M，N作直线l：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1

的形状，并证

12

x错误！未找到引用4

明你的结论．

（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

抛物线与几何问题的参考答案

【典型例题】

【例1】（浙江宁波）

解：（1）设y mx n，将点A（－2，2）,点B 6，6）代入得

2m n 211

得m ,n 3。 ∴y x 3。

22 6m n 6

当x 0时，y 3。 ∴点E的坐标（0，3）。 （2）设抛物线的函数解析式为y ax2 bx， 将A（－2，2）,点B 6，6）代入得

4a 2b 211121

a ,b y x x。

解得。∴抛物线的解析式为

4242 36a 6b 6

（4）过点A作AS⊥GQ于S ∵A（－2，2）, B（6，6）， N（3，

3

）， 4

35

，NS=，AS=5。 44

1

∴在Rt△SAN和Rt△NOG中，tan∠SAN=tan∠NOG=。∴∠SAN=∠ NOG。

4

∴∠AOE=∠OAS=∠BOH= 45°, OG=3，NG=

∴∠OAS －∠SAN=∠BOG －∠NOG。∴∠OAN=∠BON …… 此处隐藏：5265字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……