2018版高中数学选修1-2学案：3.2 复数的四则运算二 精品

学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i幂的周期性．

知识点一复数的乘方与i n(n∈N*)的周期性

思考计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测i n(n∈N*)的值有什么规律吗？

1．复数范围内正整数指数幂的运算性质

对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有z m z n＝z m＋n，(z m)n＝________，(z1z2)n＝z n1z n2.

2．虚数单位i n(n∈N*)的周期性

i4n＝__________，i4n＋1＝__________，i4n＋2＝__________，i4n＋3＝__________.

知识点二复数的除法

思考如何规定两复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R，c＋d i≠0)相除？

把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i ≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i

的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2

i.

类型一 i 的运算性质

例1 计算下列各式的值．

(1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 017.(2)(1－1i )2 014＋(1－i)2 014.(3)(－12＋32

i)3.

反思与感悟 (1)虚数单位i 的性质：

①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋

3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)． ②i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋

3＝0(n ∈N *)． (2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i

＝－i 等一些重要结论简化运算．

(3)设ω＝－12＋32

i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω. 跟踪训练1 计算下列各式：

(1)i 2 006＋(2＋2i)8－(21－i

)50. (2)(－1－3i)3＋(－1＋3i)3.

类型二 复数的除法

例2 (1)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z

＋z 2＝__________. (2)复数z ＝i －32＋i

的共轭复数是____________． 反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．

(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．

跟踪训练2 (1)设i 是虚数单位，则i 3(1＋i )i －1

＝________. (2)复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________.

类型三 复数四则运算的综合应用

例3 计算下列各式： (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2

)2； (2)(2＋2i )3(4＋5i )(5－4i )(1－i )

.

反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．

(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．

①a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i b i －a i 2＝(a ＋b i )i a ＋b i

＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；

②记住一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i

＝－i ，(1±i)2＝±2i 等． 跟踪训练3 复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i

，若z 2＋a z <0，求纯虚数a .

1．设i 为虚数单位，则复数5－6i i

＝____________. 2.(1＋2i )23＋4i ＋(2＋i )2

4－3i

＝______________. 3．如果复数2－b i 1＋2i

的实部与虚部互为相反数，那么实数b ＝________. 4．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 11，z 2＝i 1·i 2…i 12，则z 1·z 2＝________.

5．计算：(1)若2＋a i 1＋2i

＝－2i ，求实数a 的值； (2)若复数z ＝2i 1－i

，求z ＋3i.

1．熟练掌握乘除法运算规则．求解运算时要灵活运用i n 的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．

2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌

握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i

＝i ，－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．

3．在进行复数运算时，要理解好i 的性质，切记不要出现如“i 2＝1”，“i 4＝－1”．