1.2.1单位圆中的三角函数线_ppt

复习引入 1.设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P 1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, ),角 的三角函数是怎样定义的？ y),角α的三角函数是怎样定义的？

sinα = y

cosα = x

y tanα = (x ≠ 0) x

2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？ 三角函数在各象限的函数值符号分别如何 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3.公式 3.公式 sin(α + 2kπ ) = sinα , α + 2kπ ) = cosα, cos( ).其数学意义如何 其数学意义如何？ tan(α + 2kπ ) = tanα( k ∈Z).其数学意义如何？ 终边相同的角的同名三角函数值相等. 终边相同的角的同名三角函数值相等. 4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. 4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征. 角是一个几何概念 我们从数的观点定义了三角函数， 我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一. 出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.

正弦线和余弦线 问题1 如图，设角α为第一象限角， 问题1:如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆 的交点为P ),则 都是正数， 的交点为P(x,y),则 cosα = x, α = y都是正数， sin 你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？ 你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？

y

| MP |= y = sinα

P (x ,y )

| OM |= x = cosα

O

M

x

正弦线和余弦线 问题2 若角α为第三象限角， 问题2:若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 ),则 都是负数， 为P(x,y),则 sinα = y , 都是负数， 此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？ 此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？

cosα = x

y

| MP |= y = sinα | OM |= x = cosα

M O P (x ,y ) x

为了简化上述表示， 为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定 一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性， 一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性， 带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始 带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始 点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向. 点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. 规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段. 由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、 由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、 cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP= sinα, cos

α可分别用有向线段MP、OM表示， sinα, 可分别用有向线段MP 表示 OM=cosα,那么当角α为第二、四象限角时， OM=cosα,那么当角α为第二、四象限角时，你能检验 这个表示正确吗？ 这个表示正确吗？

yP (x ,y )

yM

M

O

x

O

xP (x ,y )

思考：设角α的终边与单位圆的交点为P 过点P 思考：设角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x 轴的垂线，垂足为M 称有向线段MP OM分别为角 MP, 分别为角α 轴的垂线，垂足为M,称有向线段MP,OM分别为角α 的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时， 的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角 的正弦线和余弦线的含义如何？ α的正弦线和余弦线的含义如何？

y P M O P x P

y

O

x

思考： 思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说 为锐角， sinα+cosα>1 明sinα+cosα 1吗？

yP

MP+OM>OP=1 MP+OM OP=1O M

x

正切线 问题1 如图，设角α为第一象限角， 问题1:如图，设角α为第一象限角，其终边与单 y 位圆的交点为P ),则 是正数， 位圆的交点为P(x,y),则 tanα = 是正数，用 x 哪条有向线段表示角α的正切值最合适？ 哪条有向线段表示角α的正切值最合适？

y tanα = = AT x

y P

T

O

M A x

正切线 问题2 若角α为第四象限角， 问题2:若角α为第四象限角，其终边与单位 y 圆的交点为P ),则 是负数， 圆的交点为P(x,y),则 tanα = 是负数， x 此时用哪条有向线段表示角α 此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合 适？ y

y tanα = = AT x

M

AO

x P T

思考：若角α为第二象限角， 思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交 y 点为P ),则 是负数， 点为P(x,y),则 tanα = 是负数，此时用哪条 x 有向线段表示角α的正切值最合适？ 有向线段表示角α的正切值最合适？

y

y tanα = = AT x

T P A A M O T x

思考：若角α为第三象限角， 思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 y ),则 是正数， 为P(x,y),则 tanα = 是正数，此时用哪条有向 x 线段表示角α的正切值最合适？ 线段表示角α的正切值最合适？ y T

y tanα = = AT x

A M O PT

A x

思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？ 思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？

y P

T P

y

A O A x O T过点A 过点A(1,0)作单位圆的切线，与角α的终边或其反 作单位圆的切线，与角α 向延长线相交于点T 向延长线相交于点T,则AT=tanα.

x

思考：当角α的终边在坐标轴上时， 思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线 的含义如何？ 的含义如何？

y P P O x

当角α的终边在x轴上时， 的正切线是一个点； 当角α的终边在x轴上时，角α

的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时， 的正切线不存在. 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.

思考：观察下列不等式： 思考：观察下列不等式： p p p sin < < tan 6 6 6

p p p sin < < tan 4 4 4 p p p sin < < tan 3 3 3你有什么一般猜想？ 你有什么一般猜想？

思考：对于不等式 sin a < a < tan a 思考： 其中α为锐角),你能用数形结合思想证明吗？ ),你能用数形结合思想证明吗 (其中α为锐角),你能用数形结合思想证明吗？

y P

T

O

M

A x

作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

π(1 )4

;

5π (2 ) 612π (4 ) 5

;

2π (3 ) 3

;

.