高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式章末分层突破学案新人教A版

高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式章末分层突破学案新人教A版选修4_5

1 柯西不等式与排序不等式章末分层突破

[自我校对]

①一般形式的柯西不等式

②柯西不等式的三角形式

③反序和

④顺序和

⑤排序原理

可证明一些简单不等式．

已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1

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2 ≤4 3.

【规范解答】 因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，

n ＝(1,1,1)，

则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2，

|m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]

＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48.

∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2， ∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.

[再练一题]

1．设a ，b ，x ，y 都是正数，且x ＋y ＝a ＋b ，求证：

a 2a ＋x ＋

b 2b ＋y ≥a ＋b 2.

【证明】 ∵a ，b ，x ，y 都大于0，

且x ＋y ＝a ＋b .

由柯西不等式，知 ? ??

??a 2a ＋x ＋b 2b ＋y [(a ＋x )＋(b ＋y )] ≥? ??

??a a ＋x ·a ＋x ＋b b ＋y ·b ＋y 2 ＝(a ＋b )2.

又a ＋x ＋b ＋y ＝2(a ＋b )>0，

所以a 2

a ＋x ＋

b 2

b ＋y

≥a ＋b

2

.

这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．

已知a ，b ，c 为正实数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 2

2b

. 【规范解答】 由于不等式关于a ，b ，c 对称，

可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a

. 由排序不等式，得反序和≤乱序和，即 a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a

，

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3 及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b

. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．

[再练一题]

2．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3

ab .

【证明】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 4≥b 4≥c 4，

运用排序不等式有： a 5＋b 5＋c 5＝a ×a 4＋b ×b 4＋c ×c 4≥ac 4＋ba 4＋cb 4.

又a 3≥b 3≥c 3

＞0，

且ab ≥ac ≥bc ＞0，

所以a 4b ＋b 4c ＋c 4a ＝a 3ab ＋b 3bc ＋c 3ca ≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab ，

即a 5＋b 5＋c 5≥a 3bc ＋b 3ac ＋c 3ab .

我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．

设a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝13，求3a ＋2b ＋c 的最大值．

【规范解答】 由于a ，b ，c 为正实数，根据柯西不等式，知

(a ＋2b ＋3c )?

????3＋1＋13 ＝[(a )2＋(2b )2＋ (3c )2]??????32＋12

＋? ????132 ≥? ??

??3·a ＋1·2b ＋13·3c 2 ＝(3a ＋2b ＋c )2

， ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323， 即3a ＋2b ＋c ≤1333

， 当且仅当a

3＝2b 1＝3c 13

时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，∴当a ＝9，b ＝32，c ＝13

时， 3a ＋2b ＋c 取得最大值为1333

.

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4 [再练一题]

3．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16.求a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值.

【导学号：32750060】

【解】 a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝

a ＋

b ＋

c ＋

d ＋

e 2 ≤a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 22＋12＋12＋12＋12

≤16×5＝45，

所以a ＋b ＋c ＋d ＋e 的最大值是4

5.

1．(2015·陕西高考)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．

(1)求实数a ，b 的值；

(2)求at ＋12＋bt 的最大值．

【解】 (1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，

则?????

－b －a ＝2，b －a ＝4，解得????? a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t

≤32＋124－t 2＋t 2]

＝24－t ＋t ＝4，

当且仅当4－t 3

＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.

2．(2015·福建高考)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.

(1)求a ＋b ＋c 的值；

(2)求14a 2＋19

b 2＋

c 2的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．

又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，

所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .

又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.

(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得

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5 ? ??

??14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥ ? ??

??a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87

. 章末综合测评(三)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设xy >0，则? ????x 2＋4y 2? ??

??y 2＋1x 2的最小值为( ) A ．－9 B ．9 C ．10 D ．0

【解析】 ??????x 2＋? ????2y 2??????? ????1x 2

＋y 2 ≥? ??

??x ·1x ＋2y ·y 2

＝9. 【答案】 B

2．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( ) A.?

?????0，455 B.??????－165，165 C.?

?????0，165 D.??????－455

，455 【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)

＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)

≥(a ＋b ＋c ＋d )2，

即4(16－e 2)≥(8－e )2， 64－4e 2≥64－16e ＋e 2，即5e 2

－16e ≤0，

∴e (5e －16)≤0，

故0≤e ≤165

. 【答案】 C

3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )

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6 A ．300元 B ．360元 C ．320元 D.340元

【解析】 由排序原理，反序和最小，

∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元).

【答案】 C

4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．12 D.18

【解析】 由(a 2＋b 2＋c …… 此处隐藏：2279字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……