概率论与数理统计 m6-5北京交通大学

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第六章 参数估计

§5 置信区间 置信区间与置信度 一个正态总体未知参数的置信区间 两个正态总体中未知参数的置信区间

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第六章 参数估计

§5 置信区间

是一种有用的形式，一 旦得到了样本观测值x1 , , x n , 估计值 x1 , , x n 能使我们对未知参数 的值有一个

在统计推断中，未知参 的点估计 X 1 , , X n 数

明确的数量概念.

但是，点估计值 x1 , , x n 仅仅是未知参数 的一个近似值，没有反 映出这个近似值的误差 范围， 这在应用上是非常不方 便的.

区间估计就是根据样本给出未知参数的一个范围， 并希望知道这个范围包含该参数的可信程度。

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第六章 参数估计§5 区间估计

一、置信区间与置信水平

定义：设总体X 的分布函数 ( x; )中含一待 F 估参数 ;对于给定值 (0 1), 若由 样本X 1 , , X n , 确定的统计量 ( X 1 , , X n )

( X 1 , , X n ) , , 使得： P{ } 1 , (0 1) 则称是随机区间 , ) 为 的 置信水平为 1 ( 的置信区间。 和 分别称为 的 置信水平 为 1 的双侧置信区间的置信 下限和上限。返回主目录

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第六章 参数估计

§5 区间估计

说明1: 区间( , )是一个随机区间； 给出 1 该区间含真值 的可靠程度。 表示该区间 不包含真值 的可能性。说明 2:P { ( X 1 , , X n ) ( X 1 , , X n )} 1 的含义：若反复抽样 次(每次抽样容量相同 m ),每个样 本值确定一个区间 , ),每个这样的区间( , ) ( 要么包含 ，要么不包含 ，我们可把每次抽样看 作 一次贝努利试验，用 表示区间 , )包含 ,则 A (返回主目录

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第六章 参数估计

§5 区间估计

P ( A) P{ } 1 ,由贝努利大数定理，知 mA P 事件A发生的频率 1 , ( m ),即 m mA m 充分大时， (1 ), 即m A m (1 ), 其中m A为 m 事件A发生的次数 .

例如：若 5%,即置信水平为 95% . 1 这时重复抽样 次，则在得到的 个区间中包含 100 100

真值的有 个左右，不包含 真值的有 个左右。 95 5通常，采用95%的置信水平，有时也取99%或90%返回主目录

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第六章 参数估计§5 区间估计

对参数 作区间估计：就是对于给定值 (0 1), 确定两个统计量 ( X 1 , , X n ),

( X 1 , , X n ) , 使得：

P{ } 1 , (0 1)这里有两个要求:

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第六章 参数估计

§5

区间估计

1. 要求 以很大的可能被包含在区间 ( , ) 内，就是说，概率P{ } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.2. 估计的精度要尽可能的高: 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其 它准则. 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.返回主目录

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第六章 参数估计

一、单个总体 N ( , 2 ) 的情况

1. 正态总体均值的区间估计设X 1 , , X n为来自总体 ~ N ( , 2 )的一个样本。 X 在置信水平 下，来确定 的置信区间(, )。 1

(1). 已知方差，估计均值1 n 2 设 已 知 方 差 2 0, 又 知 道 X i是 的 一 个 X n i 1 无 偏 估 计 ， X ~ N ( , 且2 0

n

), 即 W

X

0 / n

~ N ( 0,1)。返回主目录

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第六章 参数估计

对于给定的置信水平 ,求 1 , 2,使 1 P { 1 2 } 1 ,转化为求 1, 2,使 P { 1 W 2 } 1 .( W X

0 / n

~ N (0,1)

)

查正态分布表，可找出 临界值 1, 2,使得: P{ 1 W 2 } 1 .

由此可找出无穷多组1, 2;通常我们取对 称区间 , ), 使：P{| W | } 1 - (即：

P{-

X-

0

n

} 1-

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由P {| W | } 1 , 可 知 ： z

2

P{ - z 2

(X - ) n

0

z } 1 2

P{X - z

02

n

X z

02

n

} 1 返回主目录

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§5 区间估计

结论1:已知方差 2 ,估计均值 的具体做法: 设X 1 , , X n为来自总体 ~ N ( , 2 )的一个样本 X ,2 (1) 设 2 0, 找 的 一 个 无 偏 估 计 量 : 2 0

1 n X Xi , 且 n i 1

X ~ N ( ,

n

);

X ( 2) 构造样本函数 W : ~ N (0,1), 0 / n

由P {| W | } 1 , 可 知 ： z

2

P{ - z 2

(X - ) n

0

z } 1 2

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§5 区间估计

(3) 恒等变形得 P{X - z

02

n

X z

02

n

} 1

则 的一个置信水平为 下 的置信区间为： 1

(X - z

02

n

, X z

02

n

)

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的一个置信水平为 下 的置信区间为： 1

(X - z

02

n

, X z

02

n

)

其中， 为标准正态分布的上 分位点, z 2 2即 X ~ N (0 , 1), z 满足条件2

P{X z } 2

2

, 0 1,

z

1 2

0

返回主目录 2

z x

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已知 , 求z 的方 法:

2

2

P{ X z } 1 P{ X z } 1 ( z )

2 2 2

( z ) 1 2

2

注意 : 0.05 , 即 1 0.95 时, ( z ) ( z0.025 ) 1 0.025 0.9752

z 2 z0.025 1.96返回主目录

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试求总体均值 的置信区间。 (X - z

例1. 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的 幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 假设标准差 0 7,置信度为 %; 95 0, X z

0n

2

查正态分布表得临界值 2 1.96,由此得置信区间： z

解：已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 1 x …… 此处隐藏：1676字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……