线性代数试题库(1)答案

线性代数试题库（1）答案

一、选择题：（3×7=21分）

1.n 阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（ C ） A． Aij=Mij B。 Aij=(-1) nMij C。Aij=(-1)i jMij D。Aij=-Mij

2．设A是数域F上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A． 当m < n时，有非零解 B．当m > n时，无解C．当m=n 时，只有零解D．当m=n 时，只有非零解 3．在n维向量空间V中，如果 ， L（V）关于V的一个基{ 1, , n}的矩阵分别为A，B.那么对于a，b F，a +b 关于基{ 1, , n}的矩阵是（ C ）

A．A+B B．aA+B C．aA+bB D．A+Bb 4．已知数域F上的向量 1, 2, 3 线性无关，下列不正确的是（ D ）

A 1， 2线性无关 B． 2, 3线性无关 C． 3, 1线性无关 D． 1, 2, 3中必有一个向量是其余向量的线性组合。

5．Rn中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A．R

n

B．{(a1, ,an)|ai R,i 1, ,n且 ai 0}

i 1

n

C．{(a1, ,an)|ai R,i 1, ,n且 ai 1} D．{0}

i 1

n

6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）

A 。相似 B．合同 C．相等 D．互为逆矩阵 7．向量空间R3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A． (x1,x2,x3) (|x1|,1,1)

B． (x1,x2,x3) (x1 1,x2,x3)

22

C． (x1,x2,x3) (x2,x3,0) D． (x1,x2,x3) (x12,x2,x3)

二．填空题（3X10=30分）

x1 x2 x3 0

1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组 3x1` x2 kx3 0有非零解

9x x k2x 0

23 1 a1

2．设A= a2 0,B b1,b2,b3 0,则秩（AB）为（1）。

a 3

111

,,

3．向量（x，y，z）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 3 4 2

。

4．设向量空间F2的线性变换

。 , 为 (x1,x2) (x1 x2,x2), (x1,x2) (x1 x2,0),则( )(x1,x2) （2x1,x2）5．已知V= (x1,x2,x3,x4)|x1 2x2 x4 0 ，则dimV=（3）。 1

a 36．已知实矩阵A= , (a 0 ) 是正交阵，则b=（0）。 b1

3

7．设 1, 2, 3, 4是四维欧氏空间V的一个标准正交基， 1 2 3 4，

1 2 3,则| | 2 , , 3 , 与 的夹角 ,d( , ) 1 .

6

三、计算题

10 11 31

1．求矩阵方程的解 x 2 11 01 13 ， （10分） 解:x=

21 1

2．设A AT 为对角形 (10分) 求可逆矩阵T使T 12

22 TT 解：由 E A 0, 1 1, 2 3,X1 1, 1 ,X2 1,1 分别单位化，得 , , 1 22 2 2T

22

,所以T 2 2 2,2 22

22

22

3．设二次型f(x1,x2,x3) x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3,回答下列问题：

T

（1）将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （10分）

2222

解：（1）f(x1,x2,x3) y12 y2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 y3 y4 5y5

四、证明题

1．设V是数域F上一个一维向量空间。证明V的变换σ是线性变换的充要条件是：对于任意ξ V，都有σ（ξ）=aξ，a为F中一个定数。（10分） 证明： 假设 是V的 基，存在所以 F，此时得 ，由 是线性变换，则 1 ，

1 1 1 ，令 1 aa则 a ；

任意 1， 2 V，a F，由 1 2 a 1 2 a 1 a 2 1 2

k 1 ak 1 k a 1 k 1 是线性变换。

b cc ac1 a1c2 a2

a babb1b2

c

c1 ，（10分） c2

2。行列式b1 c1

b2 c2

b

cc1a1 b1 2a1a2 b2a2

acaa1babb1cabb1cabb1cc1 证：原式=b1

a1 c1b1 a1c1 a1c1 2a1

b2

c2

a2

c2

a2

b2

a2

b2

c2

a2

b2

c2

a2

b2

c2

线性代数试题库（2 ）答案

2005—2006学年 第一学期 考试时间 120分钟

一、选择题：（3X5=15分）

1.n 阶行列式D的元素aij的余子式Mij与aij的代数余子式Aij的关系是（ C ） A． Aij=Mij B。 Aij=(-1) nMij C。Aij=(-1)i jMij D。Aij=-Mij 2．设A是数域F上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A． 当m < n时，有非零解 B．当m > n时，无解 C．当m=n 时，只有零解D．当m=n 时，只有非零解 3．已知n维向量 1, 2, 3 线性无关，下列不正确的是（ D）

A 1， 2线性无关 B． 2, 3线性无关 C． 3, 1线性无关 D． 1, 2, 3中必有一个向量是其余向量的线性组合。

4．若A是mxn矩阵，且r（A）=r，则A中（ D） A. 至少有一个r阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式；

B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r阶子式； C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r阶子式； D. 有不等于0的r阶子式，所有r+1阶子式均等于0。

5．4．设A是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（ A）A．2，B，1，C8 ，D 4 二．填空题（3X6=18分） x1 x2 x3 01．当且仅当k=（-1或

3）时，齐次线性方程组

3x1` x2 kx3 0有非零解

a 2．设A= , 1 9x1

x2 k2x3 0

a

2 0,B b1,b2,b3 0则秩（AB）为（1）

。 xy3．行列式 a

3

x

0z 0 . y z

4．已知实矩阵A= 1

3 a

1 ,( a 0 )是正交阵，则b=（0）。

b3

5．向量（x，y，z）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 1

1

6 11 3,2,1

4 B为n阶可逆矩阵，则 Ao

Ao oB

B 1 。（10分） o

三、计算题

1．求矩阵方程的解 10 11 31

11 x 2 01 13 ， （10分）

解:x=

2．设A 21

1 2

求可逆矩阵 T 使 T 1 AT 为对角形 (15分) 。

22 TT 解：由 E A 0, 1 1, 2 3,X1 1, 1 ,X2 1,1 分别单位化，得 , , 1 22 2 2T

22

,所以T 2 2 2,2 22

2 2

T

22

3．设二次型f(x1,x2,x3) x12 2x2 5x3 2x1x2 2x1x3 6x2x3,回答下列问题：

(1)将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （12分）

2222解：（1）f(x1,x2,x3) y12 y2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 y3 y4 5y5

1 0 3 2 1

1301 1

1 , , , , 2345 1 7 5 2 4．设向量组 2

4 2 14 6 0

求向量 …… 此处隐藏：5757字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……