第二章逻辑代数及其应用

数电课件

第二章 逻辑代数及其应用

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2.1 逻辑代数的基本公式和导出公式 基本概念 逻辑：事物的因果关系 逻辑运算的数学基础：逻辑代数 在二值逻辑中的变量取值： 0/1

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2.1.1 逻辑代数的三种基本运算

与 条件同时具备，结果发生 Y=A AND B = A&B=A· B=AB A B Y

00 1 1

01 0 1

00 0 1

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或 条件之一具备，结果发生 Y= A OR B = A+B A B Y

0 01 1

0 10 1

0 11 1

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非 条件不具备，结果发生 Y A NO T A

A 0 1

Y 1 0

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几种常用的复合逻辑运算 与非 或非 与或非

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异或 Y= A B A B Y

00 1 1

01 0 1

01 1 0

Y A B AB AB

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同或 Y= A ⊙B A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 1 0 0 1

Y= A ⊙B

AB AB

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2.1.2 基本公式和若干导出公式基本公式序号 (1a) (2a) 公

证明方法：真值表式 序号 (1b) (2b) 公 式

0A=0 1A=A

1 + A= 1 0 +A=A

(3a)(4a) (5a) (6a) (7a)

AA= AA A′= 0 AB =BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C

(3b)(4b) (5b) (7b)

A+A=AA + A′= 1 A +B = B + A A + B C = (A +B)(A +C)

(6b) A + (B +C) = (A + B) + C

(8a)(9)

(A B) ′ = A′ + B′(A ′) ′ = A

(8b)

(A+ B) ′ = A′B′

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公式(7b)的证明：

A+BC=(A+B)(A+C)

证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A

=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A 1=1

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公式(8a)的证明(真值表法):

(A B) ′ = A′ + B′ A0 0

B0 1

A

B

( AB) 1 1

A B

1 1

1 0

1 1

1 1

0 1

0 0

1 0

1 0

1 0

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常用的导出公式序号 (11a) (12a) (13a) (14a) 公 式

证明方法：推导， 真值表 序号 (11b) (12b) (13b) (14b) 公 式

A+AB =A A +A ′B = A + B A B + A B′= A A B + A′C + B C = A B + A′C A B + A′C + B CD = A B + A′C

A ( A + B) = A A (A′+ B) = A B ( A + B)(A + B′) = A (A + B) (A′+ C ) (B + C ) = (A + B) (A′+ C) (A + B) (A′+ C) (B + C + D)= (A + B) (A′+ C)

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1.原变量的吸收： A+AB=A

证明： A+AB=A(1+B) =A 1=A

长中含短， 留下短。

利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：

AB CD ABD( E F ) AB CD被吸收

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2.反变量的吸收：

A A B A B长中含反， 去掉反。

证明： A A B A AB A B

A B( A A ) A B

A A B ( A A )( A B) A B例如： A A BC DC A BC DC 被吸收

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3.混合变量的吸收： AB A C BC AB A C证明： 1 AB A C BC AB A C ( A A ) BC AB A C ABC A BC AB A C

正负相对， 余全完。吸收

例如：

AB A C BCD AB A C BC BCD AB A C BC AB A C

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2.2 代入定理及其应用 代入定理 ------在任意一个包含变量A的等式中

,若用任何一个逻 辑式代替等式中的A,则等式仍然成立。