论文 函数凸性证明不等式的应用

函数凸性在证明不等式中的应用

摘 要

本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义；随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质，其中重点把握凸函数的Jensen不等式。在此基础上，建立凸函数框架统一证明初等不等式，并推证一些著名不等式，如Holder不等式等，显示出函数凸性在不等式证明中的重要性；最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用，以及在数学分析中的应用。

关键词：

证明不等式Jensen不等式

函数凸性

函数凸性证明不等式的应用

1 凸函数的定义

函数凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。

1.1解析定义

1.1.1定义 设f x 定义在 a,b 上。 x1，x2 a,b x1 x2 ，及 0,1 ，恒有

f x1 1 x2 f x1 1 f x2 , ⑴

则称f x 为 a,b 上的凸函数，并称曲线f x 在 a,b 上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数f x 在 a,b 上是下凸的。

若不等式当且仅当x1 x2时成立，则称f x 是在 a,b 上的严格凸函数。

1.1.2定义 设函数f x 在 a,b 上连续， x1，x2 a,b x1 x2 ,有

x x2 f x1 f x2 f 1

22 ， ⑵

那么称函数f x 为 a,b 上的凸函数，并称函数f x 在 a,b 上是上凸的；如果不等号的方向相反，那么称函数f x 在 a,b 上是下凸的。

注: 1 若f x 为区间 a,b 上的下凸函数，则-f x 为区间 a,b 上的凸函数。从而上凸函数特征的讨论对下凸函数也适用。

2 定义2是定义1中 仅取1时的情形，从而定义2的条例弱于定义1。

2

1.2几何解释

1.2.1上凸函数f x 是描述xOy平面所定义区域上一条“上凸曲线”，图象的任一弦上

的某点，在对应的弧上的点的下侧如（图1）

图1

同理，下凸函数f x 的情况只是反向的，即f x1 1 x2 f x1 1 f x2 。 1.2.2在初等数学中，函数的凸性可根据图象来判定，如图1-2所示，f x 在 a,b 上是上凸的，而在 b,c 上是下凸的。

图 2

1.2.3在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的：对任意的

x a,b ，

如果f''(x)<0，那么f x 在 a,b 上是上凸的； 如果f'' x >0，那么f x 在 a,b 上是下凸的。

1.3直观描述性定义

1.3.1如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方，则相应的函数称为凸函数。

1.3.2如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方，则相应的函数是凸函数。

2 函数为凸的必要充分条件（即判定定理）

2.1函数为凸的必要充分条件

设f是凸集S Rn上的凸函数的充要条件是对任意的x，y S，单变量函数

g f x 1 y 是 0,1 上的凸函数。

证明：(1)充分性：设g( )是[0，1]上的凸函数，取x1 1，x2 0，则对0< <1，有 g 1 1 g 0 g 1 1 0 g ，即

f x 1 f y f x 1 y

故f x 为S上的凸函数。

（2）必要性：设f为S上的凸函数，假定 ， 0,1 ，O< <l，

欲证g 1 g 1 g ，令u x 1 y，v x 1 y，则

f u 1 v g 1 ，f u g ，f v g

由f的凸性，f u 1 v f u 1 f v ，即g 1 g 1 g 。

2.2凸函数的判定定理

2.2.1定理 设f x 在 a,b 内有二阶导数，则f x 为凸函数的必要充分条件是

f'' x 0。

证明：先证f'' x <0，令x1，x2为 a,b 内任意两点。X x1 1 x2，则

f x1 f X x1 X f' X

1

x1 X 2f'' 1 ， 1 a,b ； 2

12

f x2 f X x2 X f' X x2 X f'' 2 ， 2 a,b 。

2

上面两式相加便得

f x1 1 f x2 f x1 1 x2

2

x1 X 2f'' 1 1 x2 X 2f'' 2

2

f x1 1 x2 。 所以当f'' x 0时，函数f为凸的。

现证当f为凸，f''存在时，必有f'' 0。

f x3 f x2 f x2 f x1 x3 x2x2 x1

0

x3 x1

令x2 x，h>0，x1 x h，x3 x h，取F x f x h f x ，则

f x3 f x2 f x2 f x1 x3 x2x2 x1

0可写成 上式

x3 x1

F x F x h 0。

2h2

由中值定理，存在 x h,x ，使

F x F x h hF' f' h f' h。

再用一次中值定理，便得

F x F x h h2f'' 1 ，

x1

此即说明x2

x3

f x2 0成立，因此f'' x 0。 f x3 f x1 由上定理1，可得出定理2。

2.2.2定理 若函数f x 是 a,b 内具有一阶和二阶的导数，恒有f'' x 0， x a,b ，则曲线f x 在区间 a,b 上对定义1、定义2都是上凸的。

3 凸函数的性质

3.1对任意的x a,b ，如果f'' x <0，那么对任意x1，x2， ，xn a,b ，都有

x x xn f x1 f x2 f xn f 12

nn

如果f'' x >0，则不等号方向相反。等号当且仅当x1 x2 xn时成立。

3.2Jensen不等式

3.2.1定理（Jensen）设f x 为定义在定义1的凸函数，则对任意的实数

i 0 i 1,2, ,n ， i 1 i 1,2, ,n ，x a,b ，且x1 x2 xn，有

i 1n

n n

f ixi if xi ， ⑶ i 1 i 1

等号当且仅当x1 x2 xn时成立。 证明 用数学归纳法。

⑴n 2时，由凸函数的定义1中的⑴式

1f x1 2f x2 1 2 f x1 2f x2

f 1 2 x1 2x2 f 1x1 2x2 ，

且等号仅在x1 x2时成立，从而结论成立；

⑵设n k时⑶式成立且等号仅在x1 x2 xn时成立。

当n k 1时，设 i 1，x1 x2 xk xk 1，

i 1k 1

记x

*

11 k 11

k

ixi

i 1

k

则 x1

1 k 1

x

i 1

i1

x

*

11 k 1

x

i 1

k

ik

xk，

从而x* a,b

k

i1

且 ixi 1 k 1 x， i 1 1 1 i 1i 1k 1k 1i 1

k

*

k

k 1

有 f ixi f 1 k 1 x* k 1xk 1

i 1

1- k 1 f x* k 1f xk 1

k i

xi k 1f xk 1 1- k 1f i 11 k 1

等号仅在x1 x2 xn时成立。又由归纳假设，有

k k i i

f x f xi i 1 1 k 1k 1 i 1 i 1

因此

k

i k 1

f ixi 1 k 1 f xi k 1f xk 1

i 11 k 1 i 1

k

if xi k 1f xk 1 ，

i 1

k 1 k 1

即 f ixi if xi ，

i 1 i 1

且等号仅在x1 x2 xk 这时又必有x xi i 1,2, ,k ，从而等号仅在x1 x2 xn时成立。

综上所述，定理得证。

3.2.2 Jensen不等式还可变形为以下形式：

3.2.2.1设函数f x 为 a,b 上的严格凸函数，xi a,b ， i>0 i 1,2, ,n ，且

i 1，则有f

i 1

n

1x1 2x2 nxn 1f x1 2f x2 nf xn ⑷ 1 2 n 1 2 n

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