2014届高三数学一轮复习专讲专练：1.2命题、充分条件与必要条件

一、命题的概念

可以 判断真假 、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为 真 的语句叫真命题，判断为 假 的语句 叫假命题.

二、四种命题及其关系 1.四种命题间的相互关系：

2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同 的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 没有关系 . 三、充分条件与必要条件

1.如果p q,则p是q的 充分条件，q是p的 必要条件.2.如果p q,q p,则p是q的 充要条件 .

[小题能否全取]1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为1 1 A.若x=y ,则 x=y C.若 x=y,则 x= y

(

)

B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2

1 1 解析：由x=y得 x=y,A 正确，易知 B、C、D 错误.

答案：A

2.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的 ( )

A.逆命题 C.否命题

B.逆否命题 D.以上判断都不对

解析：命题p:若x,则y,其逆命题q:若y,则x,那么命 题q的否命题r:若綈y,则綈x,所以p是r的逆否命题.

答案：B

3.(2012· 温州适应性测试)设集合A,B,则A B是A∩B

=A成立的A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解析：由A B,得A∩B=A;反过来，由A∩B=A, 且(A∩B) B,得A B.因此，A B是A∩B=A成立的充

要条件.答案：C

4.“在△ABC中，若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________. 解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C=90°, 结论：∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC中，若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐

角”.答案：“在△ABC中，若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是 锐角”

5.下列命题中所有真命题的序号是________.①“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件； ②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要条件； ③“a>b”是“a+c>b+c”成立的充要条件.解析：①由 2>-3 / 22>(-3)2 知，该命题为假；②由 a2>b2 |a|2>|b|2 |a|>|b|, 知该命题为真； ③a>b a+c>b +c,又 a+c>b+c a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的 充要条件为真命题.

答案：②③

1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件， 即“p q” “q p”;

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件. 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不 必要条件是q”两者的不同，前者是“p q”而后者是 “q p”.

2.从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性， 因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判

断 它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”.

[例1]

π (2012· 湖南高考)命题“若α= ,则tan α= 4 ( )

1”的逆否命题是

π A.若α≠ ,则tan α≠1 4 π C.若tan α≠1,则α≠ 4

π B.若α= ,则tan α≠1 4 π D.若tan α≠1,则α= 4

[自主解答]

以否定的结论作条件、否定的条件作结

π 论得出的命题为逆否命题，即“若α= ,则tan α=1” 4 π 的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠ ”. 4[答案] C

在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的

条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为 原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命 题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理， 判定命题为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概 念的命题的判定要从概念本身入手.

1.下列命题中正确的是

(

)

①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题； ④“若x-3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题.1 2

A.①②③④C.②③④ [自主解答]

B.①③④D.①④ ①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=

0”,正确；③中，Δ=1+4m,当m>0时，Δ>0,原命 题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中

原命题正确故逆否命题正确.[答案] B

[例2]

(1)(2012· 陕西高考)设a,b∈R,i是虚数单 ( )

b 位，则“ab=0”是“复数a+ 为纯虚数”的 iA.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)(2011·福建高考)若a∈R,则“a=2”是“(a-1)·(a-2)=0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ( )

[自主解答]

b (1)复数a+ =a-bi为纯虚数，则a=0, i

b≠0;而ab=0表示a=0或者b=0,故“ab=0”是“复数a b + 为纯虚数”的必要不充分条件. i (2)若“a=2”,则“(a-1)(a-2)=0”, 即a=2 (a-1)(a-2)=0. 若“(a-1)(a-2)=0”,则“a=2或a=1”; 故(a-1)(a-2)=0不一定能推出a=2.

[答案] (1)B

(2)A

本例(1)条件不变，则“ab=0”是“复数a+bi为 纯虚数”的________条件.解析：若ab=0,则a=0,b≠0或a≠0,b=0或a =0,b=0,只有a=0,b≠0时a+bi为纯虚数；若a+ bi为纯虚数，则a=0,b≠0,所以ab=0.

答案：必要不充分条件