数字信号处理 期末考试及习题答案

北京邮电大学 数字信号处理 试卷

<<数字信号处理>>

班级 ______ 姓名 _______ 学号 ________ 成绩 ______

一、填空 (18分, 请直接写在此试题纸的空格处)

(1) 设h(n)是一个线性非移变系统的单位取样响应。若该系统又是因果的，则h(n)应满足

当当n<0时，h(n)=0；若该系统又是稳定的，则h(n)应满足

n= ∞

∑h(n)<∞。

∞

(2) 设x(n)是一实序列，X(k)=DFT[x(n)], 则X(k)的模是周期性偶序列, X(k)的幅角是周

期性奇序列。

(3) 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，S平面的s= jπ/T点映射为Z平面的z=-1

点。

(4) 线性非移变因果系统是稳定系统的充分必要条件是其系统函数H(z)的所有极点都在z

平面的单位园内。

(5) FIR数字滤波器的单位取样响应为h(n), 0≤n≤N-1, 则其系统函数H(z)的极点在

z=0，是N-1阶的。

(6) 线性相位FIR滤波器的单位取样响应h(n)是 偶 对称或 奇 对称的。设h(n)之长度为

N(0≤n≤N-1), 则当N为奇数时，对称中心位于(N-1)/2; 当N为偶数时，对称中心位于(N-1)/2。

(7) 已知序列：x(n),0≤n≤15; g(n),0≤n≤19. X(k)、G(k)分别是它们的32点DFT.令

y(n)=IDFT[X(k)G(k)],0≤n≤31,则y(n)中相等于x(n)与g(n)线性卷积中的点有29点，其序号从3到31。(8) 已知z0=0.5e

j

π

3

是一个线性相位FIR滤波器 (h(n)为实数) 的系统函数H(z)的零点，

j

π

3

则H(z)的零点一定还有0.5e, 2e

-j

π

3

, 2e3。

j

π

二、z 正、反变换（12分）

(1) 求如下序列的Z变换，注明收敛域：

x(n)=cosn 0×cosn 1×u(n)

5z

(2) 已知 X(z)=，求出所有可能的x(n)。

7z 3z2 2

解:

x(n)=cosn 0×cosn 1×u(n)

11

=(ejn 0+e jn 0)(ejn 1+e jn 1)u(n)

221jn( + )jn( )jn( ) jn( 0+ 1)

=(e01+e10+e01+e)u(n)

41zzzz

)∴ X(z)=(+++j(0+1)j(1 0)j(0 1) j(0+1)

4z ez ez ez e

z>1

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(2)

1

z>2 x(n)=[()n 2n]u(n);

3

11nn

<z<2 x(n)=(u(n)+2u( n 1);

33

11

z< x(n)=[2n ()n]u( n 1)

33

三、线性卷积 (12分)

设信号x(n) = [1,1,1,1,3,3,3,3,1] 通过LTI离散系统 h(n) = [1,-1,1]，分别按下列方法计算此离散系统的输出 y(n)。(1) 采用时域线性卷积

(2) 采用 N = 6 的重叠保留(舍去)法

解：

(1) y(n)=

k= ∞

∑h(k)x(n k)={1, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1}

∞

(2）由于 M =3，必须使每一段与前一段重叠 2个样本，x(n) 为 9 点序列，需要在开头

加 (M-1) = 2 个零。因为 N = 6，则可划分为三部分：

x1(n)={0,0,1,1,1,1}

x2(n)={1,1,3,3,3,3}

x3(n)={3,3,1,0,0,0}

因为 x(n) 在 n>8 时无值，因此在 x3(n) 中必须填3个零。现在计算每一部分与h(n) 循环卷积。

y1(n)=x1(n) h(n)={0,1,1,0,1,1}

y2(n)=x2(n) h(n)={1,3,3,1,3,3}

y3(n)=x3(n) h(n)={3,0,1,2,1,0}

丢掉每一段的前2个样本后拼接在一起，得到输出 y(n) 为

y(n)={1, 0, 1, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 2, 1}

四、研究DFT和 FFT (13分)

设有一个离散信号 x(n)=[2,-1,1,1]

(1) 直接计算 4 点 DFT X(k)

(2) 画出上述4 点FFT的频率抽选法信号流图，并在每个节点上标注每一级计算结果。

解：

(1) 由DFT的定义有： X(k)=而 W4=e则

1

2π/N

∑x(n)W4

n=0

3

kn

=e π/2= j W4=e π= 1 W4=j W4=W4=1

2340

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3

3

X(0)= X(1)= X(2)= X(3)=

∑x(n)W

n=03n=03

0 n41 n

=∑x(n)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=2 1+1+1=3=∑x(n)( j)n=2+j 1+j=1+2j=∑x(n)( 1)n=2+1+1 1=3=∑x(n)(j)n=2 j 1 j=1 2j

n=0n=03n=03n=03

∑x(n)W4

n=03

∑x(n)W4

4

2 n

∑x(n)W

n=0

3 n

故 X(k) = [3, 1+2j, 3, 1-2j]

(2) 4点频率抽选法信号流图如图

31+2j31-2j

五、系统函数和结构（10分）

(1) 设滤波器差分方程为

y(n)=x(n)+

151

x(n 1)+y(n 1) y(n 2)266

试用正准型及一阶节的级联型、并联型结构实现此差分方程。(2) 写出下图所示结构的系统函数和差分方程

解：

(1)

1 11

1+z 1z

H

(z)==51111 z 1+z 2(1 z 1)(1 z 1)6623

1+

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1 11

1+z 1z

22H(z)==51111 z 1+z 2(1 z 1)(1 z 1)

6623

65=

111 z 11 z 1

23

1+

并联型

(2) 系统函数：

级联型

11+3z 1+z 2

H(z)= 1

1 2z1 2z 1 2z 2

1+3z 1+z 2

=

1 4z 1+2z 2+4z 3

差分方程：

y(n)=x(n)+3x(n 1)+x(n 2)+4y(n 1) 2y(n 2) 4y(n 3)

六、IIR 滤波器设计（20分）

s+1

（1） 设Ha(s)=2，T=0.1，试用脉冲响应不变法将此模拟滤波器系统函数

s+5s+6

转化为数字系统函数H(z)。

（2） 用双线性变换法设计一个二阶Butterworth数字低通滤波器，要求其3dB带宽(截

止频率)fc=400Hz，采样频率fs=1.6kHz。

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解：

（1） 用部分分式展开Ha(s)： Ha(s)=

21s+1

=

s2+5s+6s+3s+2

极点为 s1= 3,s2= 2，相应A1=2,A2= 1

N

Ai

根据 H(z)=∑和T=0.1siT 1

1 ezi=1

21

H(z)=

1 e 3Tz 11 e 2Tz 1

1 0.8966z 1

=

1 1.5595z 1+0.6065z 2

（2）此数字滤波器的截止频率 ωc= cT=

2πfc2π×400π

==fs16002

用双线性变换法，相应的模拟滤波器的截止频率为 c=

′

2ωcπtg=2fstg=2fsT24

该模拟滤波器的系统函数为

′2

c

Ha(s)=

s s0s s1s0= ce

其中：

′

ππ j + 24

= ce

′

j

3π4

22 ′ = c +j

2 2

j5π

4

s1= ce

′

ππ+2π j +

4 2

= ce′2′

′

′ = c j 22

即： Ha(s)=

c

2

s+2 cs+ c

H(z)=Ha(s)

′2

将双线性变换公式带入上式便得数字滤波器系统函数

1 z 11+z 1

s=2fs

=

(1 z) =

21+z+21 z 12

2

2

4fs1 z 1+4fs1 z 11+z 1+4fs1+z 1

2

4fs1+z 1

2

2

2

(

)

2

2

2

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