第A10章_动量矩定理

理论力学

第10章 动量矩定理§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 基本知识 质点和质点系的动量矩定理 定轴转动刚体的动力学 质点系的相对运动动量矩定理 刚体平面运动动力学

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§10-1 基本知识一. 转动惯量(定义)

J Z mi ri 2

zo x

ri

mi

JZ

M

y

r dm

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1. 匀质圆盘对中心的转动惯量 (R,M)

JZ r d m2 M

M d m 2 2 r d r RJz R 0

1 M r 2 r d r MR 2 R 22

匀质圆环： z MR J

2

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2. 匀质细直杆的转动惯量

1 J z1 ML2 3

z1

JZ r d m2

C

1 2 Jz ML 12

M dm dx L

M

X

dx

J z1

L

0

M x dx L2

1 2 ML 3

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3. 用回转半径表示转动惯量:

J Z mi ri2

2

J Z r dmz1J z1 1 ML2 3

M 1 ML2 12

2

相对于z(质心)的回转半径1 m ml 2 122

1 l 12

Jz

相对于z1的回转半径 1 2 1 m m l l 3 32

X

dx

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4. 转动惯量的平行轴定理

J Z mi ri mi ( xi yi )2 2 22

( m r2

mi [ ( x1i d cos ) ( y1i d sin ) ]22 i 1i

mi d 22

mi r 1i

2d cos mi x1i 2d sin mi y1i )

mi d

2d cos ( mi x1i )

yd

y1

r1iC rix1

mi

2d sin ( mi y1i )

o

x

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J Z J C Md mi r1i mi d 2d cos mi x1i2 2

2

2d sin mi y1i2

0y1

J c Md

0

yd为z与z1之间的距离d

r 1

r

C

x1

o

x

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练习: 组合法求转动惯量撞击摆由摆杆OA和摆锤 B组成，若将杆和锤视为匀质的 细长杆和等厚圆盘。杆重P1,长为 l ,盘重P2,半径为R, 求摆对于轴O的转动惯量。

O

lA B R

1P 2 JO 1 l 3g

J O J1O J 2O

1P2 2 P2 2 R (l R) 2g g

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二.动量矩(瞬时量) kg m/s1. 质点的动量矩(定义)

2

LO r m M o m Lz M z (m ) 同理x, y LO

z LO ri

m

M y

o x

2, 质点系的动量矩(定义)

ri mi i M o mi i 同理x, y

LZ M Z (mi vi )

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§10.2 质点和质点系的动量矩定理 一.质点的动量矩定理固定点

d r F r ( m )dt d ( r m ) dt

F

d F m dtm

r

M

dr mv v mv 0 dt

dr mv dt

o

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d r F ( r m ) dt d M o (mv ) M O (F ) dt

F

m

r

M

d LO M o (F ) dt d Lz M z ( F )( x, y轴同理) dt

o

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练习: 求单摆的运动方程(摆角很小)

研究小球d( mvl ) mgl dt

e d LO M O( F ) dt

d[ m( l )l ] mgl dt

o

ml mgl 2

Tmg

v

02 n

( g / l )2 n

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二. 动量矩守恒

若质点外力

存在

M O (F ) 0 LO M O (mv ) C

或 M z ( F ) 0 LZ M Z (mv ) C

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o

r

M

v0

质量为m的小球系于细绳的一端， 绳的另一端穿过光滑水平面上的 小孔O,令小球在此水平面上沿半径 为r的圆周作匀速运动，其速度为 v0 , 如将绳下拉，使圆周半径缩小为 r / 2 , 问此时小球的速度 v1 ?

FT

解：研究小球

e d LO M O (F ) dt e M O(F ) 0

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e d LO M O (F ) dt

e M O(F ) 0

o

r

M

v0

LO costm v1 r 2

FT

FN FT

n

mg

mv0 r

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三. 质点系的动量矩定理 固定点 O e i d 对于其中任一质点 F F ( m ) dt 对于质点系 e i d ( F i Fi ) d t (mi i ) 对固定点取矩 O e i d ri Fi ri Fi d t ri mi i

e d LO ri Fi M O ( F ) dt

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e d LO ri Fi M O ( F ) dt

作用于质点系上所有外力对某固定点的矩的和

等于此质点系的动量矩对时间的导数

d Lx M x (F ) dt

y, z轴同理

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如图滑轮O上悬有一根绳子，绳子两端离过轴O的水平线的距离分别 。两个质量分别 l1 和 l2 为 m1 和 m2 的人抓着绳子的两端， 同时开始向上爬并同时到达过轴O 的水平线。不计滑轮和绳子的质量， O 忽略所以对运动的阻力。 v2 v1 l2 求两人同时到达的时间。 l1

解：系统任意时刻对O轴的动量矩为

LO m1v1r m2v2r动量矩定理:

m2 g

m1 g

dLO (m2 g m1 g )r dt

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初始系统静止

m1v1 m2v2 (m2 g m1 g )tm1 v1dt m2 0 T T

O l2 v2 v1 l1

0

1 v2 dt (m2 g m1 g )T 2 2

m2 g

m1 g

1 m1l1 m2l2 (m2 g m1 g )T 2 2T 2( m1l1 m2l2 ) ( m2 m1 ) g