教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.4 二

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.4 二项分布-缺答案

小学+初中+高中

小学+初中+高中 2.4二_项_分_布

[对应学生用书P35]

1．定义

一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )＝p >0.我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．

2．概率公式

在n 次独立重复试验中，每次试验事件A 发生的概率均为p (0<p <1)，即P (A )＝p ，P (A )

＝1－p ＝q ，则事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为P n (k )＝C k n p k q n －k ，k ＝0,1,2，…，n .它恰好是(q ＋p )n 的二项展开式中的第k ＋1项.

连续掷一颗骰子三次，就是做三次独立重复试验．

用A i (i ＝1,2,3)表示第i 次出现6点这一事件，用B 1表示“仅出现一次6点”这一事件． 问题1：试用A i 表示B 1.

提示：B 1＝(A 1A －2A －3)＋(A －1A 2A －3)＋(A －1A －2A 3)．

问题2：试求P (B 1)．

提示：∵P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝16

， 且A 1A －2A －3，A －1A 2A －3和A －1A －2A 3互斥，

∴P (B 1)＝P (A 1A －1A －2)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3)

＝16×????562＋16×????562＋16×????562 ＝3×16×???

?562. 问题3：用B k 表示出现k 次6点这一事件，试求P (B 0)，P (B 2)，P (B 3)．

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小学+初中+高中

小学+初中+高中 提示：P (B 0)＝P (A －1A －2A －3)＝????563，

P (B 2)＝3×????162×????56，P (B 3)＝???

?163. 问题4：由以上结果你得出何结论？

提示：P (B k )＝C k 3????16k ???

?563－k ，k ＝

0,1,2,3.

若随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k n p k q n －

k ，其中0<p <1，p ＋q ＝1，k ＝0,1,2，…，n ，则称X 服从参数为n

，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．

1．满足以下条件的试验称为独立重复试验：

(1)每次试验是在同样条件下进行的；

(2)各次试验中的事件是相互独立的；

(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生；

(4)每次试验中，某事件发生的概率是相同的．

2．独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题．但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．

3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次．

[对应学生用书P36]

[例1] 2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率．

[思路点拨] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．

[精解详析] (1)记预报一次准确为事件A ，

则P (A )＝0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验，

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小学+初中+高中

小学+初中+高中 2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，

其概率为

P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.

所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.

所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.

[一点通] 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点：

(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n 次独立重复试验；

(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的和．

(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．

1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率为________．

解析：恰好成活4棵的概率为C 45×0.94×0.1≈0.33.

答案：0.33

2.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自

由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B

袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12

，则小球落入A 袋中的概率为________．

解析：记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，

故P (B )＝????123＋????123＝14，

从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34

. 答案：34

3．某城市的发电厂有5台发电机组，每台发电机组在第一季度里停机维修率为14

，已知2台以上(不包括2台)发电机组停机维修，将造成城市缺电，计算：

(1)该城市在一个季度里停电的概率；

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小学+初中+高中

小学+初中+高中 (2)该城市在一个季度里缺电的概率．

解：(1)若停电，则表示每台发电机组都不能工作，由于每台发电机组停机维修是互不影响的，故每台发电机组停机维修是相互独立的，该城市停电必须5台发电机组都停机维修，所以停电的概率为

C 55????145×????1－140＝11 024.

(2)当3台或4台发电机组停机维修时，该城市将缺电，所以缺电的概率为

C 35????143×????1－142＋C 45????144×????1－14＝10×143×942＋5×144×34＝1051 024.

[例2] 个交通岗，假设在各个交

通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13

. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列；

(2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列；

(3)求这三名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

[思路点拨] 解答本题可先求出x ，y 的可能数值，再根据二项分布的公式求分布列．(3)可用对立事件求解．

[精解详析] (1)依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率

都是p ＝13

，且每次试验结果都是相互独立的，所以X ～B ????6，13. ∴P (X ＝k )＝C k 6????13k ???

?1－136－k ＝C k 6????13k ???

?236－k ， k ＝0,1,2， (6)

∴所求X 的概率分布为

(2)由题意知，Y ＝k (k ＝0,1,2，…，5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路

口遇上红灯，则其概率为P (Y ＝k )＝????23k ·13

，Y ＝6表示路上没有遇上红灯，其概率为P (Y ＝6)＝????236.

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小学+初中+高中

∴所求Y 的概率分布为

(3)由题意可知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红灯都没有遇到”，因此有

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